а. Какая нужна вынуждающая сила, чтобы осциллятор массы \(m\) с коэффициентом затухания \(\gamma\) начал совершать гармонические колебания с собственной частотой \(\omega_0\) по закону \(x = A\cos(\omega_0t-\varphi)\)?
б. Амплитуда вынуждающей силы равна \(F_0\), её частота \(\omega=\omega_0\). Определите амплитуду вынужденных колебаний. Во сколько раз она больше отклонения осциллятора при действии постоянной силы \(F_0\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Уравнение движения с затуханием и вынуждающей силой:
\[ ma = -m\omega_0^{2}x - 2\gamma m v + F. \]Для \(x = A\cos(\omega_0t-\varphi)\) имеем \(a = -\omega_0^{2}x\), поэтому первые члены слева и справа сокращаются:
\[ 0 = -2\gamma m v + F \quad\Longrightarrow\quad F = 2\gamma m v. \]Скорость \(v = -A\omega_0\sin(\omega_0t-\varphi)\), значит
\[ F = -2A\gamma m\omega_0\,\sin(\omega_0t-\varphi). \]Сила синфазна скорости (она равна \(2\gamma m v\)) и сдвинута по фазе на \(\pi/2\) относительно смещения — то самое, о чём говорилось в задаче 3.5.30.
б. Амплитуда этой силы равна \(F_0 = 2A\gamma m\omega_0\), откуда
\[ A = \frac{F_0}{2\gamma m\omega_0}. \]Постоянная сила \(F_0\) сместила бы осциллятор на \(x_{\text{ст}} = F_0/k = F_0/(m\omega_0^{2})\). Отношение
\[ \frac{A}{x_{\text{ст}}} = \frac{F_0}{2\gamma m\omega_0}\cdot\frac{m\omega_0^{2}}{F_0} = \frac{\omega_0}{2\gamma} = Q. \]Резонанс усиливает отклик ровно в \(Q\) раз — вот ещё один смысл добротности.