Осциллятор движется по закону \(x = x_0\sin\omega t\), а вынуждающая сила, действующая на него, \(F = F_0\cos\omega t\). Каков коэффициент затухания у осциллятора? Масса осциллятора \(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение в лоб. Уравнение движения
\[ ma = -m\omega_0^{2}x - 2\gamma m v + F. \]Подставим \(x = x_0\sin\omega t\), \(v = x_0\omega\cos\omega t\), \(a = -x_0\omega^{2}\sin\omega t\):
\[ -m\omega^{2}x_0\sin\omega t = -m\omega_0^{2}x_0\sin\omega t - 2\gamma m x_0\omega\cos\omega t + F_0\cos\omega t. \]Синусы и косинусы — независимые функции времени, поэтому равенство распадается на два:
\[ \text{при }\sin:\quad -m\omega^{2}x_0 = -m\omega_0^{2}x_0 \;\Longrightarrow\; \omega = \omega_0, \] \[ \text{при }\cos:\quad 0 = -2\gamma m x_0\omega + F_0 \;\Longrightarrow\; \gamma = \frac{F_0}{2x_0\omega m}. \]Что мы попутно узнали. Первое уравнение говорит, что описанный режим возможен только на резонансе: сдвиг фаз ровно \(\pi/2\) бывает только при \(\omega=\omega_0\). Второе — что вся сила уходит на компенсацию трения.
То же через энергию. За период сила совершает работу
\[ W = \overline{Fv}\,T = F_0x_0\omega\,\overline{\cos^{2}\omega t}\;T = \frac{F_0x_0\omega T}{2}, \]а трение уносит \(2\gamma m\overline{v^{2}}T = \gamma m x_0^{2}\omega^{2}T\). В установившемся режиме они равны:
\[ \frac{F_0x_0\omega}{2} = \gamma m x_0^{2}\omega^{2} \;\Longrightarrow\; \gamma = \frac{F_0}{2x_0\omega m}. \;✓ \]