На рисунке приведена зависимость квадрата амплитуды скорости вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, амплитуда которой постоянна. Определите собственную частоту осциллятора, его коэффициент затухания и добротность.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Собственная частота. Максимум кривой приходится на
\[ \omega_0 = 550\;\text{с}^{-1}. \]Коэффициент затухания. Кривая спадает вдвое при \(\omega \approx 500\) и \(\omega \approx 600\) с\(^{-1}\), то есть её полная ширина на половине высоты
\[ \Delta\omega = 2\gamma = 100\;\text{с}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 50\;\text{с}^{-1}. \]Добротность.
\[ Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{550}{100} = 5{,}5. \]Откуда «ширина \(= 2\gamma\)». Амплитуда скорости \(v_0 = \omega A\), а из полного уравнения вынужденных колебаний с затуханием
\[ v_0^{2} = \frac{F_0^{2}\,\omega^{2}} {m^{2}\bigl[(\omega_0^{2}-\omega^{2})^{2} + 4\gamma^{2}\omega^{2}\bigr]}. \]Вблизи резонанса положим \(\omega = \omega_0+\delta\) с малым \(\delta\). Тогда \(\omega_0^{2}-\omega^{2} = -(\omega+\omega_0)\delta \approx -2\omega_0\delta\), и
\[ v_0^{2} \approx \frac{F_0^{2}}{4m^{2}\,(\delta^{2}+\gamma^{2})}. \]Это «колокол» с максимумом при \(\delta = 0\), то есть при \(\omega=\omega_0\), и с половинным значением при \(\delta = \pm\gamma\) ✓.