Задача 3.5.39сколько ждать резонанса
Условие
Для резонансного обнаружения малых вынуждающих сил можно использовать монокристалл сапфира с добротностью \(Q = 10^{9}\) и частотой собственных колебаний \(\omega_0 = 10^{4}\) с\(^{-1}\). Сколько времени (по порядку величины) нужно ждать, чтобы в монокристалле установились колебания?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Время установления вынужденных колебаний равно времени затухания свободных (задача
3.5.35): \(\tau = 1/\gamma\). А \(\gamma\) выражается через добротность.
Выкладка. Из \(Q = \omega_0/(2\gamma)\)
\[ \gamma = \frac{\omega_0}{2Q},\qquad \tau = \frac{1}{\gamma} = \frac{2Q}{\omega_0}. \]Числа.
\[ \tau = \frac{2\cdot10^{9}}{10^{4}} = 2\cdot10^{5}\;\text{с} \sim 10^{5}\;\text{с}. \]Это примерно двое суток. Чтобы кристалл «раскачался» до своей полной резонансной амплитуды, силу надо прикладывать без перерыва двое суток.
Проверка. В периодах это
\(\tau/T = \tau\omega_0/2\pi = Q/\pi \approx 3\cdot10^{8}\) колебаний ✓ —
столько же, сколько нужно, чтобы свободные колебания заглохли. Сходится с задачей 3.5.21:
там за сутки амплитуда падала всего в 1,5 раза, то есть характерное время как раз
порядка нескольких суток ✓. Мораль: высокая добротность даёт огромное усиление
(в \(Q = 10^{9}\) раз!), но требует такого же долгого терпения ✓ — за всё
приходится платить временем. Именно поэтому детекторы гравитационных волн ловят не
установившийся отклик, а переходный.
Ответ
\( \tau = 2Q/\omega_0 = 2\cdot10^{5} \) с \( \sim 10^{5} \) с (около двух суток).