Частицы массы \(m\) каждая вылетают из источника в момент \(t=0\) с почти нулевой начальной скоростью. Сразу после вылета на них начинает действовать сила \(F = F_0\sin\omega t\). Определите скорость частиц спустя время \(t\) после вылета. Какова средняя скорость этих частиц? На каком расстоянии от источника достигается наибольшая скорость? Ответьте на эти вопросы для частиц, испущенных в момент времени \(t = \pi/\omega\), \(\pi/2\omega\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вылет в момент \(t=0\). Импульс, полученный к моменту \(t\), — площадь под \(F_0\sin\omega t\):
\[ p(t) = \frac{F_0}{\omega}\bigl(1-\cos\omega t\bigr), \qquad v(t) = \frac{F_0}{m\omega}\bigl(1-\cos\omega t\bigr). \]Скорость никогда не меняет знак: множитель \(1-\cos\omega t\) всегда от 0 до 2. Частица только ускоряется и замедляется, но всё время летит вперёд. Средняя скорость — это среднее от \(1-\cos\omega t\), а \(\overline{\cos} = 0\):
\[ v_{\text{ср}} = \frac{F_0}{m\omega}. \]Максимум \(v_{\text{макс}} = 2F_0/(m\omega)\) достигается при \(\cos\omega t = -1\), то есть \(\omega t = \pi(2n+1)\). Координата в эти моменты (площадь под графиком скорости — прямая \(v_{\text{ср}}t\) минус нулевой вклад синуса):
\[ x = \frac{F_0}{m\omega}\Bigl(t-\frac{\sin\omega t}{\omega}\Bigr) \Big|_{\omega t = \pi(2n+1)} = \frac{F_0}{m\omega^{2}}\,\pi(2n+1). \]Вылет в момент \(t=\pi/\omega\). Отсчитаем время от вылета: \(t' = t-\pi/\omega\). Тогда
\[ F = F_0\sin(\omega t'+\pi) = -F_0\sin\omega t', \]и всё повторяется с обратным знаком:
\[ v = \frac{F_0}{m\omega}\bigl(\cos\omega t'-1\bigr). \]Частица летит в другую сторону, \(|v_{\text{ср}}| = F_0/(m\omega)\), \(|v_{\text{макс}}| = 2F_0/(m\omega)\) достигается по другую сторону от источника на том же расстоянии \(\pi(2n+1)F_0/(m\omega^{2})\).
Вылет в момент \(t = \pi/(2\omega)\). Теперь
\[ F = F_0\sin\Bigl(\omega t'+\frac{\pi}{2}\Bigr) = F_0\cos\omega t', \qquad v = \frac{F_0}{m\omega}\sin\omega t'. \]Скорость знакопеременна, частица просто колеблется около источника:
\[ v_{\text{ср}} = 0,\qquad v_{\text{макс}} = \frac{F_0}{m\omega}, \]а максимум достигается при \(\omega t' = \pi/2\), где
\[ x = \frac{F_0}{m\omega^{2}}\bigl(1-\cos\omega t'\bigr) = \frac{F_0}{m\omega^{2}}. \]