С момента времени \(t=0\) на частицу массы \(m\) начинает в направлении оси \(x\) действовать сила \(F_x = F_0\sin\omega t\), а в направлении оси \(y\) — сила \(F_y = F_0\cos\omega t\). Найдите траекторию частицы, если в начальный момент она покоится. Чему равна средняя скорость частицы за большое время? Какую начальную скорость должна иметь частица, чтобы двигаться при наличии этих сил по окружности? Каков радиус этой окружности?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорости. По каждой оси отдельно (как в задаче 3.5.41):
\[ v_x = \frac{F_0}{m\omega}\bigl(1-\cos\omega t\bigr),\qquad v_y = \frac{F_0}{m\omega}\,\sin\omega t. \]Обозначим \(u = F_0/(m\omega)\) и перепишем:
\[ \vec v = \underbrace{(u,\;0)}_{\text{снос}} + \underbrace{u\,(-\cos\omega t,\;\sin\omega t)}_{\text{вращение}}. \]Второе слагаемое — вектор постоянной длины \(u\), равномерно вращающийся с частотой \(\omega\). Итак: равномерное вращение плюс равномерный снос.
Траектория. Именно так движется точка на ободе катящегося колеса. Проинтегрируем:
\[ x = \frac{u}{\omega}\bigl(\omega t - \sin\omega t\bigr),\qquad y = \frac{u}{\omega}\bigl(1-\cos\omega t\bigr), \]то есть, обозначив \(r = u/\omega = F_0/(m\omega^{2})\),
\[ x = r\,(\omega t - \sin\omega t),\qquad y = r\,(1-\cos\omega t) \]— каноническая циклоида, описываемая точкой обода колеса радиуса \(r\), катящегося по оси \(x\).
Средняя скорость. Вращающаяся часть в среднем даёт нуль, остаётся снос:
\[ \vec v_{\text{ср}} = \Bigl(\frac{F_0}{m\omega},\;0\Bigr) \]— вдоль оси \(x\), то есть перпендикулярно силе в начальный момент (при \(t=0\) сила смотрит по \(y\)).
Движение по окружности. Снос надо уничтожить. Он появился из-за того, что частица стартовала из покоя; если задать начальную скорость, равную минус сносу,
\[ v_x(0) = -\frac{F_0}{m\omega},\qquad v_y(0) = 0, \]то останется только вращающаяся часть:
\[ \vec v = u\,(-\cos\omega t,\;\sin\omega t), \]— равномерное движение по окружности со скоростью \(u\) и угловой скоростью \(\omega\). Радиус
\[ r = \frac{u}{\omega} = \frac{F_0}{m\omega^{2}}. \]