Длинную цепь шариков, связанных пружинами жёсткости \(k\), тянут за один конец с силой \(F\). Другой конец цепи закреплён. Определите общее удлинение пружин и смещение \(N\)-го шарика при равновесии.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Натяжение всюду одно. Рассмотрим любой шарик: слева его тянет одна пружина, справа — другая. Он в покое, значит эти силы равны по модулю. Переходя от шарика к шарику, получаем, что натяжение всех пружин одинаково. А крайняя правая пружина тянет последний шарик с силой \(F\) (её мы и прикладываем), значит
\[ T_1 = T_2 = \dots = F. \]Удлинение каждой пружины. По закону Гука
\[ \Delta = \frac{F}{k}. \]Смещение \(N\)-го шарика. Считаем шарики от закреплённого конца. Между стенкой и \(N\)-м шариком находится \(N-1\) пружина, и каждая удлинилась на \(F/k\). Смещения складываются:
\[ x_N = (N-1)\,\frac{F}{k}. \]Что это значит. Смещение растёт линейно с номером — то есть линейно с расстоянием от закреплённого конца. Это в точности то, что происходит в однородном растянутом стержне: относительное удлинение всюду одинаково, а смещение нарастает от закреплённого конца к свободному. Цепочка шариков — простейшая механическая модель твёрдого тела, и мы будем пользоваться ею весь параграф.