Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным колебаниям и сделав очень много выстрелов, его можно сильно раскачать, однако это вряд ли удастся. Почему?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Прибавка. Один камешек даёт импульс \(p\) в момент, когда мост идёт со скоростью \(v = \omega A\):
\[ \Delta E_{+} \approx pv = p\,\omega A. \]Потери. Сила сопротивления \(f = -bv\) уносит мощность \(bv^{2}\) (задача 3.5.9). Средний квадрат скорости за период равен \(\omega^{2}A^{2}/2\), поэтому за период теряется
\[ \Delta E_{-} \approx b\,\frac{\omega^{2}A^{2}}{2}\,T = \pi b\,\omega A^{2}. \]Где остановится раскачка. Приравняем:
\[ p\,\omega A = \pi b\,\omega A^{2} \quad\Longrightarrow\quad A_{\text{уст}} = \frac{p}{\pi b}. \]Установившийся размах пропорционален импульсу одного выстрела и не зависит от их числа. Сколько ни стреляй — больше \(p/(\pi b)\) не раскачаешь. Для камешка из рогатки (\(p\) — граммы на десятки метров в секунду) и для моста (огромное \(b\)) это ничтожная величина.
Полезно записать то же через добротность (задача 3.5.21). Так как \(b = 2\gamma m\) и \(Q = \omega_0/(2\gamma)\),
\[ A_{\text{уст}} = \frac{p}{2\pi\gamma m} = \frac{Q}{\pi}\cdot\frac{p}{m\omega_0}, \]то есть амплитуда всего в \(Q/\pi\) раз больше той, что даёт один-единственный выстрел. Резонанс усиливает воздействие в \(Q\) раз — но не в бесконечность.