Задача 3.6.10энергия упругой деформации
Условие
Относительное удлинение стержня равно \(\varepsilon\). Найдите энергию упругой деформации на единицу объёма, если модуль Юнга материала стержня равен \(E\). Выразите полученную величину через силу, действующую на единицу площади сечения, и через нормальное напряжение \(\sigma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Энергия деформированной пружины \(k(\Delta L)^{2}/2\). Подставим \(k = ES/L\),
\(\Delta L = \varepsilon L\) — и разделим на объём \(V = SL\). Всё, что зависит от
формы, сократится.
Выкладка.
\[ W = \frac{k\,(\Delta L)^{2}}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{ES}{L}\cdot(\varepsilon L)^{2} = \frac{E\varepsilon^{2}}{2}\,SL = \frac{E\varepsilon^{2}}{2}\,V. \]Значит плотность упругой энергии
\[ \boxed{\;w = \frac{W}{V} = \frac{E\varepsilon^{2}}{2}\;} \]Через напряжение. Так как \(\sigma = E\varepsilon\) (задача 3.6.3), то \(\varepsilon = \sigma/E\), и
\[ w = \frac{E}{2}\cdot\frac{\sigma^{2}}{E^{2}} = \frac{\sigma^{2}}{2E} = \frac{\sigma\varepsilon}{2}. \]Последняя форма — «полупроизведение силы на смещение» в пересчёте на единицу объёма — самая запоминающаяся.
Проверка. Размерность: \([E\varepsilon^{2}] = \text{Па} =
\text{Дж/м}^3\) ✓ — паскаль и есть джоуль на кубометр. Величина не зависит ни от длины,
ни от сечения ✓ — как и должна плотность энергии. Оценим для стали у предела прочности
(\(\sigma = 5\cdot10^{8}\) Па): \(w = 2{,}5\cdot10^{17}/(4\cdot10^{11}) \approx
6\cdot10^{5}\) Дж/м\(^3\) ✓ — примерно 80 Дж на килограмм стали; вот почему стальная
пружина — плохой аккумулятор энергии по сравнению с химическим топливом ✓. Формула
\(w = \sigma^{2}/(2E)\) понадобится в задачах 3.6.16 и 3.6.21 ✓.
Ответ
\( w = \dfrac{E\varepsilon^{2}}{2} = \dfrac{\sigma^{2}}{2E} = \dfrac{\sigma\varepsilon}{2} \).