Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в кольцо стержень, имеющий квадратное сечение \(a\times a\)? Модуль Юнга материала \(E\), длина стержня \(l \gg a\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Деформация слоя. Пусть стержень свернулся в кольцо радиуса \(R\). Слой, отстоящий от середины на \(y\), имеет радиус \(R+y\) и длину \(2\pi(R+y)\), тогда как нейтральный слой имеет длину \(2\pi R = l\). Значит
\[ \varepsilon(y) = \frac{2\pi(R+y)-2\pi R}{2\pi R} = \frac{y}{R}. \]Радиус кольца. Длина стержня не меняется: \(l = 2\pi R\), откуда
\[ R = \frac{l}{2\pi}. \]Энергия. Плотность энергии \(w = E\varepsilon^{2}/2 = Ey^{2}/(2R^{2})\) зависит только от \(y\). Разобьём сечение на полоски шириной \(a\) и толщиной \(dy\); объём такой полоски по всей длине равен \(a\,l\,dy\). Полная энергия
\[ W = \int_{-a/2}^{a/2}\frac{E y^{2}}{2R^{2}}\,a\,l\,dy = \frac{Eal}{2R^{2}}\cdot\frac{a^{3}}{12} = \frac{E\,a^{4}l}{24R^{2}}. \](Мы воспользовались тем, что сумма \(y^2\) по квадратному сечению даёт \(a^{4}/12\) — это «школьная» середина куба: среднее значение \(y^{2}\) на отрезке \([-a/2,\,a/2]\) равно \(a^{2}/12\), а объём сечения \(a^2\).)
Подставляем радиус.
\[ W = \frac{E a^{4} l}{24}\cdot\frac{4\pi^{2}}{l^{2}} = \frac{\pi^{2}E a^{4}}{6\,l}. \]