При действии продольных сил, растягивающих или сжимающих упругое тело, изменяются не только его продольные, но и поперечные размеры. Рассмотрите модель ячейки кристалла, в которой связи атомов представлены пружинами. Жёсткость диагональных пружин \(k\), остальных — \(k_0\). Определите отношение сжатия поперечных пружин к удлинению продольных при малых деформациях.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Пусть сторона квадрата \(a\), продольная (горизонтальная) деформация \(\varepsilon\), поперечная (вертикальная) \(\varepsilon'\) (она отрицательна — ячейка сжимается). Тогда горизонтальные пружины удлинились на \(\varepsilon a\), вертикальные — на \(\varepsilon' a\).
Как удлинилась диагональ. Её проекции стали \(a(1+\varepsilon)\) и \(a(1+\varepsilon')\), значит длина
\[ d = a\sqrt{(1+\varepsilon)^{2}+(1+\varepsilon')^{2}} \approx a\sqrt{2}\,\Bigl(1+\frac{\varepsilon+\varepsilon'}{2}\Bigr), \](мы отбросили квадраты малых величин), а удлинение диагонали
\[ \delta = d - a\sqrt2 = \frac{a\,(\varepsilon+\varepsilon')}{\sqrt2}. \]Обратите внимание: относительное удлинение диагонали равно полусумме \((\varepsilon+\varepsilon')/2\) — среднему из продольной и поперечной деформаций. Это общее правило для направления под 45°.
Вертикальное равновесие узла. Возьмём верхний левый атом. По вертикали на него действуют:
— вертикальная пружина под ним, растянутая на \(\varepsilon' a\): тянет вниз с
силой \(k_0\varepsilon' a\);
— диагональ, идущая вниз-вправо, растянутая на \(\delta\): её натяжение \(k\delta\),
а вертикальная проекция (угол 45°) равна \(k\delta/\sqrt2\), тоже вниз.
Внешняя сила горизонтальна и вертикальной проекции не даёт. Сумма должна быть нулевой:
\[ k_0\varepsilon' a + \frac{k\delta}{\sqrt2} = 0. \]Подставляем \(\delta\).
\[ k_0\varepsilon' a + \frac{k}{\sqrt2}\cdot\frac{a(\varepsilon+\varepsilon')}{\sqrt2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2k_0\varepsilon' + k(\varepsilon+\varepsilon') = 0, \] \[ \varepsilon' = -\frac{k}{k+2k_0}\,\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \frac{|\varepsilon'|}{\varepsilon} = \frac{k}{k+2k_0}. \]