Задача 3.6.9стержень с ускорением
Условие
Стержень массы \(m\), длины \(l\) и сечения \(S\) тянут за один конец в продольном направлении с ускорением \(a\). Модуль Юнга материала стержня \(E\). Колебаний в стержне нет. На сколько удлинится стержень?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сечение на расстоянии \(x\) от свободного конца разгоняет всю массу, лежащую за
ним. Значит натяжение линейно растёт от нуля на свободном конце до \(ma\) на том, за
который тянут. Дальше — средняя деформация, как в задаче 3.6.8.
Натяжение. Отсчитаем \(x\) от свободного конца. Кусок длины \(x\) имеет массу \(mx/l\), и разгоняет его только натяжение в этом сечении:
\[ T(x) = \frac{m x}{l}\,a. \]На свободном конце \(T=0\), на «тянущем» \(T = ma\) ✓.
Деформация и удлинение.
\[ \varepsilon(x) = \frac{T(x)}{ES} = \frac{max}{ESl}, \]линейная функция, поэтому средняя деформация — половина максимальной:
\[ \overline{\varepsilon} = \frac{ma}{2ES}, \qquad \Delta l = \overline{\varepsilon}\,l = \frac{m a l}{2ES}. \]Проверка. Размерность:
\([mal/(ES)] = \text{кг}\cdot(\text{м/с}^2)\cdot\text{м}/(\text{Па}\cdot\text{м}^2)
= \text{м}\) ✓. При \(a=0\) удлинения нет ✓. Если приложить ту же силу \(F=ma\) к
невесомому стержню, удлинение было бы \(Fl/(ES)\) — вдвое больше ✓, и это
понятно: у нагруженного собственной инерцией стержня «работает» лишь половина сечений на
полную силу. Подставив \(a=g\), получаем сжатие колонны под своим весом
\(mgl/(2ES) = \rho g l^{2}/(2E)\) ✓ — ответ задачи 3.6.8. Обратите внимание: удлинение
не зависит от того, тянут стержень или он висит, — только от распределения нагрузки ✓.
Ответ
\( \Delta l = \dfrac{m a l}{2ES} \).