Задача 3.6.8колонна под своим весом
Условие
Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту 30 м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита \(2{,}7\cdot10^{3}\) кг/м\(^3\), а его модуль Юнга \(10^{11}\) Па.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нагрузка на сечение растёт сверху вниз: у самого низа давит весь столб, у верха — ничего.
Значит деформация меняется линейно, а полное сжатие считается по средней
деформации.
Напряжение на глубине \(x\) от верха. Ниже сечения — только вес того, что выше:
\[ \sigma(x) = \frac{\rho S x\,g}{S} = \rho g x. \]Оно линейно растёт от 0 наверху до \(\rho g h\) внизу. Деформация тоже линейна:
\[ \varepsilon(x) = \frac{\sigma(x)}{E} = \frac{\rho g x}{E}. \]Полное сжатие. Раз деформация меняется линейно, полное укорочение равно средней деформации, умноженной на высоту:
\[ \Delta h = \overline{\varepsilon}\,h = \frac{\rho g h}{2E}\cdot h = \frac{\rho g h^{2}}{2E}. \]Числа.
\[ \Delta h = \frac{2{,}7\cdot10^{3}\cdot9{,}8\cdot30^{2}}{2\cdot10^{11}} \approx 1{,}2\cdot10^{-4}\;\text{м} = 0{,}12\;\text{мм}. \]Проверка. Площадь сечения сократилась ✓ — толстая колонна
сжимается на столько же, что и тонкая той же высоты, и это верно: и вес, и жёсткость
пропорциональны \(S\). Зависимость от высоты квадратичная ✓ — вдвое более высокая
колонна сядет вчетверо сильнее. Максимальное напряжение
\(\rho g h = 8\cdot10^{5}\) Па — в сотни раз меньше прочности гранита на сжатие
(\(\sim2\cdot10^{8}\) Па) ✓, так что колонна стоит с огромным запасом; предельная
высота гранитного столба вышла бы около \(\sigma_{\text{пр}}/\rho g \approx 7\) км ✓.
Формула \(\rho gh^{2}/2E\) — та же, что для стержня с ускорением (задача 3.6.9) при
\(a=g\) ✓.
Ответ
\( \Delta h = \dfrac{\rho g h^{2}}{2E} \approx 1{,}2\cdot10^{-4} \) м.