Задача 3.6.7стяжка стены
Условие
Части стены по разные стороны трещины соединили раскалённой стальной полосой, которая, остыв, прижала их друг к другу. Пусть ширина трещины 1 см, длина полосы 2 м, а её сечение 2 см\(^2\). С какой силой стянуты части стены, если полоса первоначально нагрета на 500 °C?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Остывая, полоса хотела бы укоротиться на \(\alpha L\Delta t\). Часть этого укорочения
она «тратит» на закрытие трещины, а остаток — на упругое растяжение самой себя. Вот
этот остаток и создаёт силу.
Сколько полоса хочет укоротиться.
\[ \Delta L_{\text{терм}} = \alpha L\,\Delta t = 1{,}25\cdot10^{-5}\cdot2\cdot500 = 1{,}25\cdot10^{-2}\;\text{м} = 1{,}25\;\text{см}. \]Сколько ей позволено. Стены сходятся, пока не закроется трещина шириной \(d = 1\) см. Дальше двигаться некуда — остальное уходит в упругое растяжение полосы:
\[ \Delta L_{\text{упр}} = \Delta L_{\text{терм}} - d = 1{,}25 - 1 = 0{,}25\;\text{см} = 2{,}5\cdot10^{-3}\;\text{м}. \]Сила. По задаче 3.6.3
\[ F = ES\,\frac{\Delta L_{\text{упр}}}{L} = 2\cdot10^{11}\cdot2\cdot10^{-4}\cdot\frac{2{,}5\cdot10^{-3}}{2} = 5\cdot10^{4}\;\text{Н}. \]Пять тонн — и это от полоски сечением с ноготь. Тепловые напряжения в металле чудовищно велики, потому что модуль Юнга огромен.
Проверка. Напряжение в полосе
\(\sigma = F/S = 2{,}5\cdot10^{8}\) Па ✓ — большое, но ниже предела прочности стали,
полоса выдержит. Если бы трещина была шире 1,25 см, полоса не смогла бы её закрыть и сила
была бы нулевой ✓ — предельный случай сходится. Если бы трещины не было вовсе
(\(d=0\)), сила была бы \(ES\alpha\Delta t = 2{,}5\cdot10^{5}\) Н ✓ — в пять раз
больше, и это как раз задача 3.6.6. Такой приём («стяжки») — старинный и до сих пор
применяемый способ ремонта каменных зданий ✓.
Ответ
\( F = ES\dfrac{\alpha L\Delta t - d}{L} = 5\cdot10^{4} \) Н.