Рельсы для трамвая при укладке сваривают в стыках. Какие напряжения появляются в них при изменении температуры от −30 °C зимой до 30 °C летом, если укладка проводилась при 10 °C? Температурный коэффициент линейного расширения стали \(1{,}25\cdot10^{-5}\) K\(^{-1}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Условие несвободы. Свободный рельс при нагреве на \(\Delta t\) удлинился бы относительно на \(\alpha\Delta t\). Раз длина зафиксирована, упругая деформация равна этому же по модулю с обратным знаком:
\[ \varepsilon_{\text{упр}} = -\alpha\,\Delta t, \qquad \sigma = E\varepsilon_{\text{упр}} = -E\alpha\,\Delta t. \]Зима. \(\Delta t = -30-10 = -40\) K — рельс хочет укоротиться, но не может, значит он растянут:
\[ \sigma_{\text{зима}} = 2\cdot10^{11}\cdot1{,}25\cdot10^{-5}\cdot40 = 10^{8}\;\text{Па}. \]Лето. \(\Delta t = 30-10 = +20\) K — рельс хочет удлиниться, значит он сжат:
\[ \sigma_{\text{лето}} = -2\cdot10^{11}\cdot1{,}25\cdot10^{-5}\cdot20 = -0{,}5\cdot10^{8}\;\text{Па}. \]Итак, напряжение гуляет от \(+10^{8}\) Па (растяжение зимой) до \(-0{,}5\cdot10^{8}\) Па (сжатие летом).