На стальном стержне сечения 0,5 см\(^2\) и длины 75 см закрепили на расстоянии 25 см друг от друга три груза массы 2 т каждый. Нижний груз висит на конце стержня. Нарисуйте графики относительного удлинения (деформации) и смещения участков стержня. Модуль Юнга стали \(2\cdot10^{11}\) Па. Каково растяжение всего стержня?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Натяжение по участкам. Каждый груз весит \(P = mg = 2\cdot10^{3}\cdot10 = 2\cdot10^{4}\) Н. Верхний участок (0–25 см) держит все три груза, средний — два, нижний — один:
\[ F_1 = 6\cdot10^{4}\;\text{Н},\qquad F_2 = 4\cdot10^{4}\;\text{Н},\qquad F_3 = 2\cdot10^{4}\;\text{Н}. \]Деформация. По задаче 3.6.3 \(\varepsilon = F/(ES)\), причём
\[ ES = 2\cdot10^{11}\cdot0{,}5\cdot10^{-4} = 10^{7}\;\text{Н}, \]поэтому
\[ \varepsilon_1 = 6\cdot10^{-3},\qquad \varepsilon_2 = 4\cdot10^{-3},\qquad \varepsilon_3 = 2\cdot10^{-3}. \]Удлинения участков. Каждый участок длиной \(l = 0{,}25\) м:
\[ \Delta_1 = 1{,}5\;\text{мм},\qquad \Delta_2 = 1{,}0\;\text{мм},\qquad \Delta_3 = 0{,}5\;\text{мм}, \] \[ \Delta = \Delta_1+\Delta_2+\Delta_3 = 3\;\text{мм}. \]Смещения. Точка на расстоянии \(x\) от заделки сместилась на сумму удлинений всего, что выше неё. Получается ломаная с изломами в точках крепления грузов: 0 → 1,5 мм → 2,5 мм → 3 мм. Наклон каждого звена равен деформации соответствующего участка — поэтому ломаная выпуклая вверх.