Задача 3.6.4жёсткость одной связи
Условие
Оцените жёсткость межатомной связи в веществе с модулем Юнга \(E\) и средним межатомным расстоянием \(a\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Возьмём кубик со стороной \(a\) — он содержит ровно одну «межатомную пружинку» вдоль
каждого направления. Его жёсткость считаем по формуле задачи 3.6.3 — и это и есть
жёсткость связи.
Оценка. Кубик со стороной \(a\) имеет сечение \(S = a^{2}\) и длину \(L = a\), поэтому
\[ k = \frac{ES}{L} = \frac{E\,a^{2}}{a} = E\,a. \]Числа. Для стали \(E = 2\cdot10^{11}\) Па, \(a \approx 2{,}5\cdot10^{-10}\) м:
\[ k \approx 2\cdot10^{11}\cdot2{,}5\cdot10^{-10} \approx 50\;\text{Н/м}. \]Удивительно наглядное число: одна межатомная связь — это пружинка с жёсткостью примерно как у пружины из шариковой ручки. Огромная жёсткость макроскопических тел получается не потому, что каждая связь особо крепка, а потому, что их чудовищно много.
Проверка. Размерность: \([Ea] = \text{Па}\cdot\text{м} =
\text{Н/м}\) ✓. Обратный ход: в стержне сечения \(S\) параллельно работают
\(S/a^{2}\) связей, а последовательно — \(L/a\) штук, поэтому
\(k_{\text{стержня}} = k\cdot\dfrac{S/a^{2}}{L/a} = Ea\cdot\dfrac{S}{aL} =
\dfrac{ES}{L}\) ✓ — вернулись к задаче 3.6.3. Оценка энергии связи:
\(ka^{2}/2 \approx 50\cdot6\cdot10^{-20}/2 \approx 1{,}5\cdot10^{-18}\) Дж
\(\approx 10\) эВ ✓ — правильный порядок для энергии химической связи.
Ответ
\( k = Ea \) (для стали около 50 Н/м).