Модулем Юнга \(E\) материала называется жёсткость куба единичного объёма при усилии, приложенном перпендикулярно одной из его граней. Какова жёсткость стержня длины \(L\) и сечения \(S\) при продольных растяжении и сжатии? Пусть стержень закреплён с одного конца. Какой силой, прикладываемой к другому концу, его можно растянуть на \(\Delta L\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
По площади (параллельно). Пусть стержень набран из \(S\) единичных «столбиков» сечения 1. Каждый растягивается на одно и то же \(\Delta L\), а силы складываются, значит жёсткость пропорциональна \(S\).
По длине (последовательно). Столбик длины \(L\) — это \(L\) единичных кубиков друг за другом. Через все проходит одна и та же сила, а удлинения складываются, значит на каждый кубик приходится \(\Delta L/L\), и жёсткость обратно пропорциональна \(L\).
Собираем. Единичный кубик имеет жёсткость \(E\), поэтому
\[ \boxed{\;k = \frac{ES}{L}\;} \]и сила, растягивающая стержень на \(\Delta L\),
\[ F = k\,\Delta L = ES\,\frac{\Delta L}{L} = ES\varepsilon. \]Полезная перезапись. Разделив на \(S\), получаем главную формулу теории упругости — закон Гука в напряжениях:
\[ \sigma \equiv \frac{F}{S} = E\,\varepsilon. \]В таком виде в ней нет ни длины, ни сечения — только свойство материала. Напряжение \(\sigma\) измеряется в паскалях, деформация \(\varepsilon\) безразмерна, значит и \(E\) измеряется в паскалях.