Коэффициент Пуассона для стали \(\nu = 0{,}3\). Увеличивается или уменьшается объём стального стержня при растяжении? Объём резинового шнура при растяжении почти не меняется. Чему равен коэффициент Пуассона для резины?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Изменение объёма. Для параллелепипеда \(V = l_1l_2l_3\), и при малых деформациях
\[ \frac{\Delta V}{V} = \varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3 = \varepsilon - \nu\varepsilon - \nu\varepsilon = \varepsilon\,(1-2\nu). \](Произведение \((1+\varepsilon_1)(1+\varepsilon_2)(1+\varepsilon_3)\) при отбрасывании квадратов даёт \(1+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3\).)
Сталь. \(1-2\cdot0{,}3 = 0{,}4 > 0\), значит при растяжении (\(\varepsilon>0\)) объём увеличивается — правда, всего на 40 % от продольной деформации.
Резина. Объём не меняется, значит
\[ 1-2\nu = 0 \quad\Longrightarrow\quad \nu = \frac{1}{2} = 0{,}5. \]Почему \(\nu\) не бывает больше 1/2. При \(\nu>1/2\) растяжение уменьшало бы объём. Тогда достаточно было бы всесторонне сжать тело, чтобы оно начало «само» расширяться — такая среда неустойчива. Поэтому у всех обычных материалов \(0 \le \nu \le 1/2\), и резина стоит у самой границы.