Задача 3.6.15сжимаемость через E и ν
Условие
Сжимаемость вещества показывает, на какую долю от первоначального объёма уменьшается объём тела при единичном увеличении давления на его поверхность. Рассматривая всестороннее сжатие кубика вещества как сумму трёх односторонних сжатий, выразите сжимаемость через модуль Юнга \(E\) и коэффициент Пуассона \(\nu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Всестороннее давление \(P\) — это три независимых сжатия по трём осям, каждое с
напряжением \(-P\). Деформации складываются (принцип суперпозиции): каждое сжатие даёт
вдоль своей оси \(-P/E\), а вдоль двух других — по \(+\nu P/E\).
Деформация вдоль одной оси. Соберём вклады трёх сжатий в деформацию по оси \(x\):
— «своё» сжатие вдоль \(x\): \(\varepsilon_x = -P/E\);
— сжатие вдоль \(y\): поперечный эффект даёт \(+\nu P/E\);
— сжатие вдоль \(z\): ещё \(+\nu P/E\).
По симметрии то же самое для \(y\) и \(z\).
Изменение объёма.
\[ \frac{\Delta V}{V} = 3\varepsilon_x = -\frac{3P\,(1-2\nu)}{E}, \]откуда сжимаемость
\[ \varkappa = -\frac{1}{P}\cdot\frac{\Delta V}{V} = \frac{3\,(1-2\nu)}{E}. \]Модуль всестороннего сжатия. Обратную величину называют модулем объёмного сжатия:
\[ K = \frac{1}{\varkappa} = \frac{E}{3(1-2\nu)}. \]Проверка. Размерность: \([\varkappa] = \text{Па}^{-1}\) ✓.
При \(\nu = 1/2\) (резина, жидкость) сжимаемость обращается в нуль ✓ — несжимаемая
среда. При \(\nu = 0\) получаем \(\varkappa = 3/E\) ✓: три независимых пружины.
Для стали: \(\varkappa = 3\cdot0{,}4/(2\cdot10^{11}) = 6\cdot10^{-12}\)
Па\(^{-1}\), то есть \(K = 1{,}7\cdot10^{11}\) Па ✓ — табличное значение для стали
как раз \(1{,}6\cdot10^{11}\) Па. Заметьте: \(K > E\) — всесторонне сжать тело
труднее, чем сжать в одном направлении ✓, ведь боковому расширению мешают.
Ответ
\( \varkappa = \dfrac{3(1-2\nu)}{E} \).