Сжимаемость воды \(5\cdot10^{-5}\) атм\(^{-1}\). Оцените изменение глубины океана в случае, если бы вода стала несжимаемой. Средняя глубина океана составляет 3–4 км. В океане встречаются впадины, глубина которых около 10 км. На сколько плотность воды на этой глубине больше, чем на поверхности? Какая упругая энергия запасена в единице объёма воды?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Насколько поднялся бы океан. На глубине \(x\) давление \(P = \rho g x\), а относительное сжатие \(\varkappa P\). Среднее по толще значение отвечает половине придонного давления, поэтому
\[ \Delta h = \overline{\varkappa P}\;h = \varkappa\,\frac{\rho g h}{2}\,h = \frac{\varkappa\rho g h^{2}}{2}. \]Возьмём \(h = 3{,}5\) км. Придонное давление \(\rho g h = 10^{3}\cdot10\cdot3{,}5\cdot10^{3} = 3{,}5\cdot10^{7}\) Па \(= 350\) атм, среднее — 175 атм. Тогда
\[ \frac{\Delta V}{V} = 5\cdot10^{-5}\cdot175 \approx 8{,}8\cdot10^{-3}, \qquad \Delta h \approx 3500\cdot8{,}8\cdot10^{-3} \approx 30\;\text{м}. \]Если бы вода была несжимаемой, уровень океана поднялся бы примерно на 30 метров — и затопил бы немалую часть суши.
Плотность на глубине 10 км. Там \(P = 10^{8}\) Па \(= 1000\) атм, значит
\[ \frac{\Delta\rho}{\rho} = \varkappa P = 5\cdot10^{-5}\cdot1000 = 0{,}05, \qquad \Delta\rho = 0{,}05\cdot10^{3} = 50\;\text{кг/м}^{3}. \]Упругая энергия. Как и у пружины, энергия равна половине произведения «силы на смещение», то есть половине \(P\cdot(\Delta V/V)\) на единицу объёма:
\[ w = \frac{1}{2}\,P\,\frac{\Delta V}{V} = \frac{\varkappa P^{2}}{2} = \frac{1}{2}\cdot10^{8}\cdot0{,}05 = 2{,}5\cdot10^{6}\;\text{Дж/м}^{3}. \]