Невесомая нить переброшена через два гвоздя. К ней подвешены два груза. Сила натяжения горизонтальных участков нити \(F\). Как по профилю нити найти массу грузов и силу реакции со стороны гвоздей?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Главное соотношение. Пусть участок нити идёт с угловым коэффициентом \(s = \mathrm{tg}\,\alpha\) (наклон профиля). Раз горизонтальная составляющая равна \(F\), вертикальная равна
\[ T_y = F\,s. \]Массы грузов. В точке, где висит груз, нить имеет излом. Рассмотрим равновесие этой точки по вертикали: слева нить тянет с вертикальной составляющей \(-Fs_{\text{л}}\), справа \(+Fs_{\text{п}}\), а груз тянет вниз с силой \(mg\):
\[ F\,(s_{\text{п}} - s_{\text{л}}) = m g \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{F\,(s_{\text{п}} - s_{\text{л}})}{g}. \]Иными словами, вес груза равен \(F\), умноженной на скачок наклона в точке подвеса. Для первого груза \(m_1g = F(s_2-s_1)\), для второго \(m_2g = F(s_3-s_2)\), где \(s_1,s_2,s_3\) — наклоны трёх участков слева направо.
Реакция гвоздя. У гвоздя нить переходит от горизонтального участка (наклон 0) к наклонному (наклон \(s_1\)). Складывая натяжения по обе стороны, получаем, что нить тянет гвоздь вниз... точнее, сумма натяжений, действующих на «узел» у гвоздя, равна \((0,\;F s_1)\), и её должна уравновесить реакция
\[ N_1 = F\,|s_1| = F\,\mathrm{tg}\,\alpha_1, \]направленная вверх (первый участок идёт вниз, \(s_1<0\)). Аналогично \(N_2 = F s_3\).
Итог рецепта: измерить по чертежу наклоны всех участков; умножить каждый на \(F\) — получатся вертикальные составляющие натяжений; их скачки в точках подвеса дают веса грузов, а скачки у гвоздей — реакции.