К концам струны приложены продольные силы \(F_0\). При поперечном смещении отдельных участков струны возник профиль, изображённый на рисунке. Постройте график зависимости поперечной составляющей силы натяжения струны от координаты. Какие поперечные силы могут удержать струну в таком виде?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Наклоны. С рисунка: до точки 1 и после точки 3 струна горизонтальна (наклон 0); на участке 1–2 она поднимается на \(b\) за длину \(L\) (наклон \(+b/L\)); на участке 2–3 опускается на \(b\) за длину \(l\) (наклон \(-b/l\)).
Поперечная составляющая натяжения.
\[ F_y(x) = F_0\,y'(x) = \begin{cases} 0, & x < x_1,\\ F_0\,b/L, & x_1 < x < x_2,\\ -F_0\,b/l, & x_2 < x < x_3,\\ 0, & x > x_3. \end{cases} \]Удерживающие силы. Возьмём маленький кусочек струны, содержащий излом. Слева его тянут с поперечной составляющей \(-F_y^{\text{лев}}\), справа — с \(+F_y^{\text{прав}}\). Чтобы кусочек был в равновесии, внешняя сила должна равняться минус скачку:
\[ F_{\text{внеш}} = -\bigl(F_y^{\text{прав}} - F_y^{\text{лев}}\bigr). \]Отсюда сразу
\[ F_1 = -F_0\frac{b}{L},\qquad F_2 = F_0\Bigl(\frac{b}{L}+\frac{b}{l}\Bigr),\qquad F_3 = -F_0\frac{b}{l}. \]То есть на вершине 2 струну надо тянуть вверх, а в точках 1 и 3 — прижимать вниз. Это вполне наглядно: вершину надо «держать», а «углы» у основания — прижимать, иначе струна их подтянет вверх и выпрямится.