Участки струны движутся в поперечном направлении так, что область изгиба смещается вправо со скоростью \(c\), не меняя своего наклона. Как связаны деформация \(\varepsilon\) струны в области изгиба и скорость участков струны \(u\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Перенос профиля. Пусть форма струны описывается функцией \(y = f(x-ct)\) (именно это и значит «движется вправо, не меняя вида»). Возьмём точку с координатой \(x\) и посмотрим, как меняется её высота за малое время \(\Delta t\):
\[ \Delta y = f\bigl(x-c(t+\Delta t)\bigr) - f(x-ct) = f\bigl((x-ct) - c\Delta t\bigr) - f(x-ct). \]Аргумент уменьшился на \(c\Delta t\), значит значение изменилось на «наклон, умноженный на приращение аргумента»:
\[ \Delta y = -\varepsilon\,c\,\Delta t. \]Здесь \(\varepsilon\) — наклон профиля: при смещении вдоль струны на малое \(\Delta x\) высота меняется на \(\varepsilon\,\Delta x\). Этот наклон и есть поперечная деформация струны.
Результат.
\[ \boxed{\;u = \frac{\Delta y}{\Delta t} = -c\,\varepsilon\;} \]Наглядно. В нашем случае профиль спускается вправо (\(\varepsilon = -b/L < 0\)), значит \(u > 0\): участки струны движутся вверх. И правда — картинка едет вправо, поэтому в каждой точке «высокая» часть постепенно сменяет «низкую», и струна поднимается.