а. Объясните, почему увеличивается импульс выделенного на рисунке участка струны. Определите скорость изменения этого импульса через массу единицы длины струны \(\rho\), деформацию в области изгиба \(\varepsilon \ll 1\) и скорость смещения области изгиба \(c\).
б. Какова сумма сил, действующих на выделенный участок струны, если сила натяжения её равна \(F_0\)? Выразите скорость смещения области изгиба струны через \(F_0\) и \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Почему импульс растёт. Внутри выделенного участка есть кусок, уже вовлечённый в движение (он в области изгиба), и кусок, ещё покоящийся (справа). Фронт изгиба движется вправо со скоростью \(c\), поэтому за время \(\Delta t\) он вовлекает в движение новый отрезок длины \(c\,\Delta t\) и массы \(\rho\,c\,\Delta t\). Этот отрезок приобретает поперечную скорость \(u = -c\varepsilon\) (задача 3.6.19), значит импульс участка растёт на \(\rho c\Delta t\cdot u\):
\[ \frac{\Delta p}{\Delta t} = \rho\,c\,u = -\rho\,c^{2}\varepsilon. \](Скорость уже движущихся участков не меняется — ведь наклон изгиба постоянен, значит и \(u\) постоянна. Весь прирост импульса идёт от вновь вовлекаемого вещества.)
б. Сумма сил. На выделенный участок действуют натяжения на его концах. Поперечная составляющая натяжения равна \(F_0\), умноженной на наклон (задачи 3.6.17, 3.6.18). Правый конец лежит на горизонтальном участке, там наклон нулевой и поперечной силы нет. Левый конец лежит в области изгиба, где наклон равен \(\varepsilon\); соседняя левая часть тянет наш участок с поперечной составляющей \(-F_0\varepsilon\). Итого
\[ F_{\perp} = -F_0\,\varepsilon. \]Второй закон Ньютона.
\[ -\rho c^{2}\varepsilon = -F_0\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \rho c^{2} = F_0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;c = \sqrt{\frac{F_0}{\rho}}\;} \]Деформация \(\varepsilon\) сократилась! Значит скорость волны не зависит от того, насколько сильно струну изогнули — только от натяжения и погонной массы. Именно поэтому по струне могут бежать импульсы любой формы, не искажаясь.