а. По графику продольных смещений участков стержня определите деформацию и упругую энергию, приходящуюся на единицу объёма стержня, в области возмущения. Возмущение, сохраняя свой вид, перемещается вправо по стержню со скоростью \(c\). Какова скорость частиц стержня в области возмущения? Модуль Юнга материала стержня \(E\).
б. В движущейся области деформации (бегущей волне), сохраняющей свою форму при перемещении по стержню, кинетическая энергия частиц равна упругой. Определите скорость волны через модуль Юнга \(E\) и плотность \(\rho\) материала стержня.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Деформация. Пусть \(\xi(x)\) — продольное смещение сечения с координатой \(x\). Отрезок между сечениями \(x\) и \(x+\Delta x\) изменил длину на \(\xi(x+\Delta x)-\xi(x)\), значит
\[ \varepsilon = \frac{\Delta\xi}{\Delta x} = \text{наклон графика} = -\frac{b}{L} \](участок сжат: смещения убывают слева направо).
Упругая энергия. По задаче 3.6.10
\[ w = \frac{E\varepsilon^{2}}{2} = \frac{E\,b^{2}}{2L^{2}}. \]Скорость частиц. Возмущение бежит вправо без искажения, поэтому работает то же рассуждение, что и в задаче 3.6.19:
\[ u = -c\,\varepsilon = \frac{c\,b}{L}. \]Частицы движутся вправо — в ту же сторону, куда бежит волна: это продольная волна сжатия.
б. Скорость волны. Плотность кинетической энергии
\[ w_{\text{кин}} = \frac{\rho u^{2}}{2} = \frac{\rho c^{2}\varepsilon^{2}}{2}, \]а упругой — \(w = E\varepsilon^{2}/2\). По условию они равны:
\[ \frac{\rho c^{2}\varepsilon^{2}}{2} = \frac{E\varepsilon^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}\;} \]