а. Область продольной деформации \(\varepsilon\) движется по стержню со скоростью \(c\) вправо. Площадь сечения стержня \(S\), плотность материала \(\rho\). Какова скорость изменения импульса частиц стержня в области справа от выделенного сечения?
б. Импульс, переносимый за единицу времени через единицу площади поперечного сечения, называется плотностью потока импульса. Почему плотность потока импульса должна быть равна нормальному напряжению \(\sigma\) в этом сечении? Выразив \(\sigma\) через деформацию, определите отсюда \(c\) через \(\varepsilon\) и \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Скорость роста импульса. За время \(\Delta t\) фронт волны продвигается на \(c\,\Delta t\) и вовлекает в движение новый объём \(S\,c\,\Delta t\) массы \(\rho S c\,\Delta t\). Этот кусок приобретает скорость \(u = -c\varepsilon\) (задача 3.6.19), поэтому
\[ \frac{\Delta p}{\Delta t} = \rho\,c\,u\,S = -\rho\,c^{2}\varepsilon\,S. \]б. Почему поток импульса равен \(\sigma\). Правая часть стержня — это отдельное тело. Все внешние силы, действующие на неё, приложены в одном-единственном месте — в выделенном сечении, где её тянет (или толкает) левая часть с силой \(\sigma S\). По второму закону Ньютона
\[ \frac{\Delta p}{\Delta t} = \sigma S. \]Разделив на \(S\), видим: переносимый через единицу площади за единицу времени импульс равен напряжению. Это не совпадение, а определение силы: сила и есть поток импульса.
Скорость волны. Подставим сюда закон Гука \(\sigma = E\varepsilon\) (в наших знаках \(\sigma = -E\varepsilon\), так как сжатию \(\varepsilon<0\) отвечает положительное сжимающее напряжение):
\[ -\rho c^{2}\varepsilon S = -E\varepsilon\,S \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]Если же выразить через \(\sigma\) и \(\varepsilon\) напрямую (как просит условие):
\[ \rho c^{2} = \frac{\sigma}{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{\frac{\sigma}{\rho\,\varepsilon}}. \]