Модуль Юнга стали \(2\cdot10^{11}\) Па, её плотность \(7{,}8\cdot10^{3}\) кг/м\(^3\). Какова скорость продольных волн в стальном стержне? Скорость продольных волн в листовой стали больше, чем в тонких стальных стержнях. Почему?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Числа.
\[ c = \sqrt{\frac{E}{\rho}} = \sqrt{\frac{2\cdot10^{11}}{7{,}8\cdot10^{3}}} = \sqrt{2{,}56\cdot10^{7}} \approx 5{,}1\cdot10^{3}\;\text{м/с} \approx 5\;\text{км/с}. \]Почему в листе быстрее. Формула \(c=\sqrt{E/\rho}\) выведена для тонкого стержня, у которого боковая поверхность свободна: при продольном сжатии стержень беспрепятственно раздаётся вбок (коэффициент Пуассона, задача 3.6.13).
Мысленно выделим в толстом листе тонкий стержень. Когда по нему бежит волна сжатия, он хочет раздаться вбок — но со всех сторон его окружает такой же материал, который тоже сжат и тоже хочет раздаться. Соседи мешают друг другу. Значит поперечное расширение подавлено, и чтобы получить ту же продольную деформацию, нужно большее напряжение: эффективный модуль упругости больше \(E\). А раз
\[ c = \sqrt{\frac{E_{\text{эфф}}}{\rho}},\qquad E_{\text{эфф}} > E, \]то и скорость больше.
Для справки: при полном подавлении поперечной деформации \(E_{\text{эфф}} = E\dfrac{1-\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\); при \(\nu = 0{,}3\) это \(1{,}35E\), что даёт \(c \approx 5{,}9\) км/с — как раз табличная скорость продольных волн в массивной стали.