Задача 3.6.24звук в ртути, воде и воздухе
Условие
Сжимаемость ртути, воды и воздуха равна соответственно \(3\cdot10^{-5}\), \(5\cdot10^{-5}\) и \(0{,}71\) атм\(^{-1}\), а их плотность — соответственно \(13{,}6\cdot10^{3}\), \(1\cdot10^{3}\) и 1,2 кг/м\(^3\). Определите скорость звука в этих средах.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В жидкости и газе роль модуля Юнга играет модуль всестороннего сжатия
\(K = 1/\varkappa\) (сдвиговой упругости у них нет). Формула та же:
\(c = \sqrt{K/\rho}\).
Рабочая формула.
\[ c = \sqrt{\frac{K}{\rho}} = \frac{1}{\sqrt{\varkappa\rho}}. \]Переведём сжимаемости в СИ: \(1\;\text{атм}^{-1} = 10^{-5}\;\text{Па}^{-1}\), поэтому
\[ \varkappa_{\text{рт}} = 3\cdot10^{-10},\quad \varkappa_{\text{в}} = 5\cdot10^{-10},\quad \varkappa_{\text{возд}} = 7{,}1\cdot10^{-6}\;\;\text{Па}^{-1}. \]Ртуть.
\[ c = \frac{1}{\sqrt{3\cdot10^{-10}\cdot1{,}36\cdot10^{4}}} = \frac{1}{\sqrt{4{,}1\cdot10^{-6}}} \approx 5\cdot10^{2}\;\text{м/с}. \]Вода.
\[ c = \frac{1}{\sqrt{5\cdot10^{-10}\cdot10^{3}}} = \frac{1}{\sqrt{5\cdot10^{-7}}} \approx 1{,}4\cdot10^{3}\;\text{м/с}. \]Воздух.
\[ c = \frac{1}{\sqrt{7{,}1\cdot10^{-6}\cdot1{,}2}} = \frac{1}{\sqrt{8{,}5\cdot10^{-6}}} \approx 3{,}4\cdot10^{2}\;\text{м/с}. \]Проверка. Вода — 1400 м/с ✓ и воздух — 340 м/с ✓ в точности
совпадают с табличными значениями, значит метод верен. Обратите внимание на воздух:
указанная сжимаемость \(0{,}71\;\text{атм}^{-1} = 1/(\gamma P_0)\) с
\(\gamma = 1{,}4\) — это адиабатическая сжимаемость ✓; изотермическая
(\(1\;\text{атм}^{-1}\)) дала бы 290 м/с, что расходится с опытом — историческая
ошибка Ньютона, исправленная Лапласом ✓. Для ртути с данными задачника получается
\(\approx 500\) м/с (в ответе задачника стоит 550 — небольшое расхождение
арифметики); заметим, что настоящая скорость звука в ртути 1450 м/с, то есть само
табличное значение сжимаемости в условии занижено раз в восемь. Плотность работает
«против» скорости: ртуть плотнее воды в 13,6 раза, поэтому звук в ней (по этим данным)
медленнее ✓.
Ответ
Ртуть — около \(5\cdot10^{2}\) м/с, вода — 1400 м/с, воздух — 340 м/с.