В газе распространяется ударная волна, в которой давление \(P\) и плотность \(\rho\)
газа сильно превосходят давление \(P_0\) и плотность \(\rho_0\) невозмущённого газа.
Найдите по этим данным скорость ударной волны.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Ударная волна — это резкий фронт, сквозь который газ «перерабатывается» из
невозмущённого в сжатый. Работают два закона сохранения: масса (сколько газа
фронт захватил, столько и утащил за собой) и импульс (разность давлений разгоняет
захваченный газ).
Фронт ударной волны — резкая граница. Слева газ сжат и движется вслед за
фронтом, справа он ещё покоится.
Сохранение массы. За время \(\Delta t\) фронт, идущий со скоростью \(c\),
захватывает столб невозмущённого газа длины \(c\Delta t\) и массы (на единицу площади)
\(\rho_0 c\,\Delta t\). Этот газ становится сжатым и движется вслед за фронтом со
скоростью \(u\). Он занимает теперь длину \((c-u)\Delta t\) при плотности \(\rho\).
Приравняем массы:
\[ \rho_0\,c = \rho\,(c-u)
\quad\Longrightarrow\quad
u = c\,\frac{\rho-\rho_0}{\rho}. \]
Сохранение импульса. Тот же захваченный газ разогнан от нуля до \(u\)
разностью давлений \(P-P_0\), действующей на единицу площади:
\[ (P-P_0)\,\Delta t = \rho_0\,c\,\Delta t\cdot u
\quad\Longrightarrow\quad
P-P_0 = \rho_0\,c\,u. \]
Проверка слабой волны. Пусть \(\rho = \rho_0+\Delta\rho\),
\(P = P_0+\Delta P\) с малыми добавками. Тогда
\(c^{2} \approx \Delta P/\Delta\rho\) — обычная формула скорости звука ✓, ведь
\(\Delta P/\Delta\rho = K/\rho = 1/(\varkappa\rho)\). Сильная волна: при
\(\rho \gg \rho_0\) и \(P \gg P_0\) получаем \(c \approx \sqrt{P/\rho_0}\) ✓ —
скорость определяется давлением за фронтом и исходной плотностью, и она тем больше,
чем сильнее взрыв ✓. Размерность: \(\sqrt{\text{Па}/(\text{кг/м}^3)} = \text{м/с}\) ✓.
Заметим, что \(c > u\) всегда ✓ — фронт обгоняет газ, иначе он не мог бы захватывать
новый.
Ответ
\( c^{2} = \dfrac{\rho\,(P-P_0)}{\rho_0\,(\rho-\rho_0)} \).