В бегущей волне плотность \(\rho\) газа плавно убывает до значения \(\rho_0\) плотности невозмущённого газа. Давление газа \(P \sim \rho^{\gamma}\) (\(\gamma>1\)). Объясните, как из такой волны развивается ударная волна сжатия. Почему не образуется ударных волн разрежения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость зависит от плотности. Для \(P = A\rho^{\gamma}\)
\[ c_{\text{зв}}^{2} = \frac{\Delta P}{\Delta\rho} = \gamma A\rho^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad c_{\text{зв}} \propto \rho^{(\gamma-1)/2}, \]то есть в более плотном газе звук распространяется быстрее. Кроме того, сжатая часть газа сама уже движется вперёд со скоростью \(u>0\), и её возмущения бегут со скоростью \(u + c_{\text{зв}}\) — оба эффекта работают в одну сторону.
Волна сжатия. Здесь плотность убывает вперёд: сзади плотно, впереди разрежено. Значит задние участки профиля бегут быстрее передних и догоняют их. Профиль становится всё круче, пока наклон не станет бесконечным — это и есть образование разрыва, ударной волны. Дальше уже сплошная среда «не умеет» иметь однозначный профиль, и возникает скачок, описанный в задаче 3.6.25.
Волна разрежения. Если бы плотность, наоборот, росла вперёд, то задние (разрежённые) участки шли бы медленнее передних (плотных) и отставали. Профиль не крутел бы, а расплывался — становился всё более пологим. Поэтому ударных волн разрежения не бывает: любая начальная крутизна такого профиля сама собой сглаживается.
Красивая формулировка: волна сжатия сама себя обостряет, волна разрежения сама себя размывает. Именно поэтому взрыв даёт резкий хлопок, а не плавное нарастание давления, а «обратная» сторона импульса всегда пологая.