Определите скорость волн на «мелкой воде», т. е. волн, длина которых много больше глубины водоёма \(h\). Изменение уровня воды за счёт возмущения мало́ по сравнению с \(h\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сохранение вещества. Волна — это горб высоты \(\Delta h \ll h\), бегущий со скоростью \(c\). Чтобы уровень поднялся на \(\Delta h\), вода должна натечь: за время \(\Delta t\) фронт продвигается на \(c\Delta t\), и «лишний» объём (на единицу ширины) равен \(\Delta h\cdot c\,\Delta t\). Его приносит поток воды в слое толщины \(h\), текущий со скоростью \(u\): объём \(h\,u\,\Delta t\). Значит
\[ h\,u = c\,\Delta h \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{c} = \frac{\Delta h}{h}. \]Скорость изменения импульса. Фронт вовлекает в движение массу \(\rho h c\,\Delta t\) (на единицу ширины), придавая ей скорость \(u\):
\[ \frac{\Delta p}{\Delta t} = \rho\,h\,c\,u. \]Сила. Слева от фронта столб воды выше на \(\Delta h\), поэтому давление на любой глубине больше на \(\rho g\,\Delta h\). Суммарная сила на единицу ширины — это разность сил давления на столб высоты \(h\):
\[ F = \rho g\,\Delta h\cdot h. \]Приравниваем.
\[ \rho h c u = \rho g h\,\Delta h. \]Подставим \(u = c\,\Delta h/h\):
\[ \rho h c\cdot\frac{c\,\Delta h}{h} = \rho g h\,\Delta h \quad\Longrightarrow\quad c^{2} = g h \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;c = \sqrt{g h}\;} \]