По цепочке шариков массы \(m\) каждый, связанных пружинами длины \(l\) и жёсткости \(k = m\omega_0^{2}\), бежит продольная синусоидальная волна частоты \(\omega\). Амплитуда смещений \(A\) много меньше \(l\). Найдите скорость распространения этой волны. Получите скорость этой волны в низкочастотном пределе (\(\omega\ll\omega_0\)) через \(l\) и \(k\), а затем через модуль Юнга \(E\) и плотность вещества \(\rho\), рассматривая шарики как аналоги атомов вещества. Оцените \(\omega_0\) для железа.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение движения шарика. Пусть \(x_n\) — смещение \(n\)-го шарика из положения равновесия. Правая пружина растянута на \(x_{n+1}-x_n\), левая — на \(x_n-x_{n-1}\). Значит
\[ m\,a_n = k\,(x_{n+1}-x_n) - k\,(x_n-x_{n-1}) = k\,(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_n). \]Подставляем бегущую волну. Пусть
\[ x_n = A\cos(\omega t - q\,n l), \]где \(q = 2\pi/\lambda\) — волновое число. Соседи отличаются сдвигом фазы \(\pm ql\), поэтому по формуле суммы косинусов
\[ x_{n+1}+x_{n-1} = 2\cos(ql)\,x_n, \] \[ x_{n+1}+x_{n-1}-2x_n = 2\,(\cos ql - 1)\,x_n = -4\sin^{2}\!\frac{ql}{2}\;x_n. \]А слева \(m a_n = -m\omega^{2}x_n\). Сокращая на \(-x_n\):
\[ m\omega^{2} = 4k\,\sin^{2}\!\frac{ql}{2} \quad\Longrightarrow\quad \omega = 2\omega_0\,\sin\frac{ql}{2}. \]Это знаменитый закон дисперсии одномерного кристалла.
Скорость волны. Из него \(ql/2 = \arcsin\bigl(\omega/(2\omega_0)\bigr)\), и
\[ c = \frac{\omega}{q} = \frac{\omega\,l}{2\arcsin\dfrac{\omega}{2\omega_0}}. \]Низкие частоты. При \(\omega\ll\omega_0\) аргумент арксинуса мал и \(\arcsin z \approx z\):
\[ c \approx \frac{\omega l}{2\cdot\dfrac{\omega}{2\omega_0}} = \omega_0\,l = l\sqrt{\frac{k}{m}}. \]Скорость перестаёт зависеть от частоты — волны разных частот бегут одинаково, и импульс любой формы не искажается. Это обычный звук.
Через \(E\) и \(\rho\). Считаем шарики атомами в узлах кубической решётки с ребром \(l\). Тогда «стержень» сечения \(l^{2}\) и длины \(l\) имеет жёсткость \(k\), а по задаче 3.6.3 она равна \(E l^{2}/l = El\):
\[ E = \frac{k}{l},\qquad \rho = \frac{m}{l^{3}}. \] \[ c = l\sqrt{\frac{k}{m}} = l\sqrt{\frac{El}{\rho l^{3}}} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}\;✓ \]— тот же результат, что и в задачах 3.6.21 и 3.6.22. Микроскопическая модель и сплошная среда сошлись.
Оценка \(\omega_0\) для железа. Из \(c = \omega_0 l\) при \(c \approx 5\cdot10^{3}\) м/с и \(l \approx 10^{-10}\) м:
\[ \omega_0 = \frac{c}{l} \approx 5\cdot10^{13}\;\text{с}^{-1}. \]Это предельная частота колебаний решётки — выше неё волна по цепочке просто не бежит.