Середина стержня сечения \(S\) и плотности \(\rho\) сместилась после прохождения короткой волны продольного сжатия на расстояние \(b\) вправо. Скорость волны \(c\). Определите импульс этой волны.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что известно. Пока волна проходила через данное сечение, тамошняя частица двигалась со скоростью \(u(t)\) и в сумме сместилась на
\[ b = \int u\,dt. \]Что нужно. Импульс волны в фиксированный момент времени:
\[ p = \int \rho S\,u(x)\,dx. \]Связь. Волна бежит, не меняя формы: \(u\) зависит только от \(x - ct\). Поэтому «профиль по \(x\)» и «история по \(t\)» — это одна и та же кривая, только по оси \(x\) она растянута в \(c\) раз (за время \(dt\) картина сдвигается на \(dx = c\,dt\)). Значит
\[ \int u\,dx = c\int u\,dt = c\,b, \]и
\[ \boxed{\;p = \rho S\,c\,b\;} \]Другой способ — через силу. Импульс волны равен импульсу силы, которая её породила: \(p = \int F\,dt = \int \sigma S\,dt\). А \(\sigma = \rho c u\) (задача 3.6.22), поэтому \(p = \rho c S\int u\,dt = \rho c S b\) ✓ — тот же ответ, полученный совсем иначе.