а. В упругой среде плотности \(\rho\) движется со скоростью \(c\) плоская волна сжатия, амплитуда которой \(\Delta\rho\). Чему равна плотность потока импульса в области сжатия?
б. Протяжённость слоя среды в направлении распространения волны \(L\), а самой волны \(l\). С какой скоростью движется центр масс этого слоя? На сколько он сместится после того, как волна пройдёт по всему слою?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Деформация через \(\Delta\rho\). Кусочек длины \(\Delta x\) при деформации \(\varepsilon\) становится длиной \((1+\varepsilon)\Delta x\), а масса его не меняется, значит
\[ \rho' = \frac{\rho}{1+\varepsilon} \approx \rho\,(1-\varepsilon) \quad\Longrightarrow\quad \Delta\rho = -\rho\,\varepsilon. \](При сжатии \(\varepsilon<0\) и \(\Delta\rho>0\) ✓.)
а. Поток импульса. Скорость частиц \(u = -c\varepsilon = c\,\Delta\rho/\rho\), а плотность потока импульса
\[ q_p = \rho\,c\,u = \rho c\cdot\frac{c\,\Delta\rho}{\rho} = \Delta\rho\;c^{2}. \]б. Скорость центра масс. В каждый момент движется только вещество внутри волны: это слой длины \(l\) и массы (на единицу площади) \(\rho l\), летящий со скоростью \(u\). Вся масса слоя — \(\rho L\). Значит
\[ v_{\text{ц.м.}} = \frac{\rho\,l\,u}{\rho\,L} = \frac{l}{L}\,u = \frac{\Delta\rho\;c\;l}{\rho\,L}. \]Смещение центра масс. Волна проходит слой за время \(t = L/c\), и всё это время центр масс едет с постоянной скоростью:
\[ x = v_{\text{ц.м.}}\,t = \frac{\Delta\rho\,c\,l}{\rho L}\cdot\frac{L}{c} = \frac{\Delta\rho}{\rho}\,l. \]