Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.7. Распространение волн

Савченко, задача 3.7.18

Задача 3.7.18◇ фронт у берега
Условие

а. Скорость волны на «мелкой воде» уменьшается с уменьшением глубины. Прямой фронт такой волны при приближении к берегу, полого уходящему в воду, искривляется вблизи него, повторяя его очертания. Почему?

б. Изобразите качественно, как меняется прямой фронт волны, встретившей на своём пути круглую и пологую отмель.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея Скорость \(c = \sqrt{gh}\) зависит от глубины. Значит разные участки фронта идут с разной скоростью: над глубиной — быстрее, над мелью — медленнее. Отстающие участки «разворачивают» фронт — ровно как при преломлении.
а c берег б отмель c
а — у пологого берега дальние участки фронта бегут быстрее и обгоняют ближние: фронт разворачивается вдоль берега. б — круглая отмель работает как собирающая линза: фронт вогнут, волны сходятся за отмелью.

а. У берега. Пусть фронт подходит к пологому берегу под углом. Тот его край, который ближе к берегу, находится над меньшей глубиной и потому движется медленнее. Дальний край, над глубокой водой, обгоняет его. В результате фронт поворачивается, стремясь встать параллельно берегу.

Это тот же закон Снеллиуса (задача 3.7.14): \(\sin\alpha/c\) сохраняется, а раз \(c\) убывает, убывает и \(\sin\alpha\) — луч всё круче поворачивает к нормали, то есть к берегу. У самой кромки \(c \to 0\), и угол между фронтом и берегом стремится к нулю. Поэтому на любом пляже волны в итоге накатывают почти строго «в лоб», как бы ни дул ветер вдали.

б. Круглая отмель. Над отмелью волна замедляется, поэтому середина фронта, прошедшая над ней, отстаёт от краёв. Прямой фронт становится вогнутым — «прогибается» назад в середине. Дальше волна ведёт себя как после собирающей линзы: лучи сходятся, и за отмелью появляется область, где волны заметно выше.

Именно поэтому над подводными банками и отмелями волнение сильнее, и мореходы обходят такие места стороной.

Проверка. Всё сводится к тому, что медленные участки отстают ✓. Аналог из оптики полный: стекло с меньшей скоростью света = отмель, выпуклая линза = круглая отмель ✓. Для берега эффект тем сильнее, чем положе дно ✓ — на обрывистом берегу волна успевает подойти под углом. Прямая проверка предельным случаем: при постоянной глубине \(c\) одинаково, фронт не искривляется ✓. Заметим, что при подходе к берегу волна не только разворачивается, но и растёт в высоту (энергия сжимается в меньший объём) и в конце концов опрокидывается ✓ (задача 3.6.26).
Ответ а. Ближние к берегу участки фронта идут над меньшей глубиной и потому медленнее дальних; фронт разворачивается и в пределе становится параллельным берегу. б. Над круглой отмелью середина фронта отстаёт — фронт становится вогнутым, и отмель работает как собирающая линза, фокусируя волны за собой.
Следующая задача 3.7.19 →