Задача 3.7.21камертон приближают к уху
Условие
Частота собственных колебаний камертона равна \(\nu_0\). Какой частоты звук мы услышим, если будем звучащий камертон приближать к уху со скоростью \(v\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Движется источник. Он «догоняет» испущенные им же волны, поэтому те укладываются
вплотную: длина волны перед источником укорачивается. Скорость звука при этом не меняется
— она свойство воздуха.
Длина волны перед источником. За один период \(T_0 = 1/\nu_0\) волна уходит на \(cT_0\), но и сам камертон успевает продвинуться на \(vT_0\). Значит расстояние между гребнями
\[ \lambda = c T_0 - v T_0 = (c-v)\,T_0 = \frac{c-v}{\nu_0}. \]Частота, которую слышит ухо. Ухо неподвижно, гребни бегут мимо него со скоростью \(c\):
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{c\,\nu_0}{c-v} = \frac{\nu_0}{1 - v/c}. \]Звук становится выше — это эффект Доплера.
Проверка. При \(v=0\) получаем \(\nu=\nu_0\) ✓. При
\(v>0\) частота растёт ✓. При \(v \to c\) частота уходит в бесконечность ✓ — источник
догоняет собственный звук, все гребни сходятся в один: это и есть ударная волна
(задача 3.7.13). Числа: камертон 440 Гц, поднесённый со скоростью 3 м/с, даёт
\(\nu = 440/(1-0{,}0088) \approx 444\) Гц ✓ — сдвиг на 4 Гц, вполне слышимый как
биения с неподвижным камертоном. Формула несимметрична формуле для движущегося
приёмника (задача 3.7.22) ✓ — и это принципиально: в акустике важно, кто именно движется
относительно воздуха.
Ответ
\( \nu = \dfrac{\nu_0}{1 - v/c} \).