Задача 3.7.4поток импульса через сечение
Условие
Скорость частиц стержня в волне сжатия, бегущей по нему вправо со скоростью \(c\), в начальный момент определяется зависимостью \(u = u(x)\), где \(x\) — расстояние от левого конца стержня до частицы. Найдите зависимость от времени плотности потока импульса через сечение стержня на расстоянии \(x_0\) от левого его конца.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Плотность потока импульса равна \(\rho c u\) (задача 3.6.22). Осталось узнать, какое
\(u\) окажется в сечении \(x_0\) в момент \(t\) — а для этого сдвинуть профиль
вправо на \(ct\).
Сдвиг профиля. Волна бежит вправо без искажения, значит в момент \(t\)
\[ u(x,\,t) = u(x - ct). \]В сечении \(x_0\)
\[ u(x_0,\,t) = u(x_0 - ct). \]Поток импульса.
\[ \boxed{\;q_p(t) = \rho\,c\,u(x_0 - ct)\;} \]То есть та же самая функция \(u\), только её аргумент теперь бежит назад со скоростью \(c\). График \(q_p(t)\) — зеркальное отражение графика \(u(x)\), сжатое в \(c\) раз (задача 3.7.3).
Проверка. При \(t=0\) получаем \(\rho c u(x_0)\) ✓ —
начальное значение. Полный импульс, прошедший через сечение,
\(\int q_p\,dt = \rho c\int u(x_0-ct)\,dt = \rho\int u\,dx\) — это в точности
импульс всей волны (задача 3.7.1) ✓: волна целиком «протекает» через сечение.
Знак: в волне сжатия \(u>0\) и \(q_p>0\), левая часть толкает правую ✓. Размерность
\(\rho c u = \text{Па}\) ✓.
Ответ
\( q_p(t) = \rho\,c\,u(x_0 - ct) \).