Задача 3.7.5гидравлический удар
Условие
Воду, текущую по водопроводной трубе со скоростью 2 м/с, быстро перекрывают жёсткой заслонкой. Определите силу, действующую на заслонку при остановке воды, если скорость звука в воде 1,4 км/с. Сечение трубы 5 см\(^2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Вся вода не может остановиться сразу: сигнал об остановке идёт вверх по трубе со
скоростью звука. За время \(\Delta t\) успевает остановиться столб длины
\(c\,\Delta t\) — и именно его импульс гасит заслонка. Отсюда сила.
Второй закон Ньютона. За время \(\Delta t\) фронт остановки пробегает \(c\Delta t\), останавливая массу \(\rho S c\,\Delta t\), которая летела со скоростью \(v\). Значит гасится импульс \(\rho S c v\,\Delta t\), и сила
\[ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \rho\,c\,v\,S. \]Соответствующий скачок давления \(\Delta P = \rho c v\) называют гидравлическим ударом.
Числа.
\[ \Delta P = 10^{3}\cdot1{,}4\cdot10^{3}\cdot2 = 2{,}8\cdot10^{6}\;\text{Па} \approx 28\;\text{атм}, \] \[ F = 2{,}8\cdot10^{6}\cdot5\cdot10^{-4} = 1{,}4\cdot10^{3}\;\text{Н}. \]Проверка. 28 атмосфер от скорости всего 2 м/с — впечатляюще, и
это не преувеличение: именно поэтому в водопроводе слышен «стук», когда резко закрывают
кран, и поэтому трубы рвёт ✓. Сила зависит от скорости звука ✓ — в упругом шланге
\(c\) намного меньше, и удар слабее (так и делают: ставят гасители, воздушные колпаки).
Размерность: \((\text{кг/м}^3)(\text{м/с})^2\text{м}^2 = \text{Н}\) ✓. Заметим:
формула \(\Delta P = \rho c v\) — это в точности \(q_p = \rho c u\) из
задачи 3.6.22 ✓, только «мы» здесь — заслонка, а \(u = v\). Именно на гидроударе
работает гидравлический таран — насос без двигателя ✓.
Ответ
\( F = \rho\,c\,v\,S = 1{,}4\cdot10^{3} \) Н (скачок давления
\(\Delta P = \rho c v \approx 28\) атм).