На конец покоящегося полубесконечного стержня в течение времени \(\tau\) действует продольная сила \(F\). Найдите скорость частиц стержня и его деформацию в области возникшей волны, если сечение стержня равно \(S\), модуль Юнга его материала равен \(E\), а плотность \(\rho\). Какова плотность стержня в области волны? Найдите импульс и энергию смещающихся частиц стержня через время \(0{,}5\,\tau\) и \(1{,}5\,\tau\) от начала действия силы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Деформация. В волне напряжение \(\sigma = F/S\) (сжатие), значит
\[ \varepsilon = -\frac{\sigma}{E} = -\frac{F}{SE}. \]Скорость частиц. Из \(u = -c\varepsilon\) и \(c = \sqrt{E/\rho}\):
\[ u = \sqrt{\frac{E}{\rho}}\cdot\frac{F}{SE} = \frac{F}{S\sqrt{E\rho}}. \]Полезно запомнить комбинацию \(\sqrt{E\rho} = \rho c\) — её называют акустическим импедансом: \(u = \sigma/(\rho c)\).
Плотность в волне. Из \(\Delta\rho = -\rho\varepsilon\) (задача 3.7.2):
\[ \rho' = \rho\left(1+\frac{F}{SE}\right). \]Импульс. Импульс всего стержня равен импульсу приложенной силы:
\[ p(t) = F t \;\;(t \le \tau),\qquad p = F\tau \;\;(t > \tau). \] \[ p(0{,}5\tau) = 0{,}5\,F\tau,\qquad p(1{,}5\tau) = F\tau. \]Энергия. К моменту \(t \le \tau\) в движение вовлечён столб длины \(ct\), и в нём поровну кинетической и упругой энергии (задача 3.6.21):
\[ W = 2\cdot\frac{\rho S c t\,u^{2}}{2} = \rho S c\,u^{2}\,t = \frac{F^{2}t}{S\sqrt{E\rho}}. \]После выключения силы энергия больше не поступает, поэтому
\[ W(0{,}5\tau) = \frac{0{,}5\,F^{2}\tau}{S\sqrt{E\rho}},\qquad W(1{,}5\tau) = \frac{F^{2}\tau}{S\sqrt{E\rho}}. \]Тот же результат получается и как работа силы: \(W = F\cdot u t\) ✓.