Задача 3.7.7снаряд и КПД удара
Условие
На торец цилиндрического стального снаряда сечения \(10^{2}\) см\(^2\) и длины 0,5 м в течение \(5\cdot10^{-5}\) с действовала сила, равная \(10^{7}\) Н. Определите работу этой силы и отношение кинетической энергии снаряда к этой работе после того, как колебания в снаряде исчезнут.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Работа считается по задаче 3.7.6: \(A = F u \tau\). А вот конечная кинетическая энергия
определяется импульсом: он сохраняется, а вот энергия — нет, часть её остаётся в
виде колебаний, которые потом рассеются в тепло.
Скорость частиц под нагрузкой.
\[ u = \frac{F}{S\sqrt{E\rho}} = \frac{10^{7}}{10^{-2}\sqrt{2\cdot10^{11}\cdot7{,}8\cdot10^{3}}} = \frac{10^{7}}{10^{-2}\cdot3{,}95\cdot10^{7}} \approx 25\;\text{м/с}. \]Работа силы. Торец за время \(\tau\) сместился на \(u\tau\), поэтому
\[ A = F\,u\,\tau = 10^{7}\cdot25\cdot5\cdot10^{-5} \approx 1{,}25\cdot10^{4}\;\text{Дж}. \]Конечная скорость снаряда. Импульс сохраняется:
\[ p = F\tau = 10^{7}\cdot5\cdot10^{-5} = 500\;\text{кг}\cdot\text{м/с}, \] \[ m = \rho S L = 7{,}8\cdot10^{3}\cdot10^{-2}\cdot0{,}5 = 39\;\text{кг}, \qquad V = \frac{p}{m} \approx 12{,}8\;\text{м/с}. \] \[ K = \frac{mV^{2}}{2} = \frac{p^{2}}{2m} = \frac{500^{2}}{2\cdot39} \approx 3{,}2\cdot10^{3}\;\text{Дж}. \]Отношение.
\[ \frac{K}{A} = \frac{3{,}2\cdot10^{3}}{1{,}25\cdot10^{4}} = 0{,}25. \]Красивая формула. Подставим общие выражения:
\[ \frac{K}{A} = \frac{p^{2}/(2\rho SL)}{F u\tau} = \frac{(F\tau)^{2}}{2\rho S L}\cdot\frac{S\sqrt{E\rho}}{F^{2}\tau} = \frac{\tau}{2L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} = \frac{c\,\tau}{2L}. \]То есть полезная доля равна отношению длины волны к удвоенной длине снаряда. Здесь \(c\tau = 5\cdot10^{3}\cdot5\cdot10^{-5} = 0{,}25\) м, \(2L = 1\) м, отношение 0,25 ✓.
Проверка. \(K/A < 1\) всегда, когда \(c\tau < 2L\) ✓ —
остальная энергия ушла в упругие колебания снаряда, которые затем рассеются. Чтобы
разогнать тело эффективно, нужно \(c\tau \gtrsim 2L\), то есть толкать долго по
сравнению со временем пробега звука по телу ✓ — именно поэтому пушка выгоднее удара:
порох давит на снаряд весь ствол. При \(c\tau = 2L\) получилось бы \(K=A\) ✓ — вся
энергия в поступательном движении. Размерности сходятся ✓, а числа правдоподобны:
12,8 м/с для 39-килограммового снаряда — это \(p=500\) кг·м/с ✓.
Ответ
\( A = F u\tau \approx 1{,}25\cdot10^{4} \) Дж; \( K/A = c\tau/(2L) = 0{,}25 \).