Струна, состоящая из двух частей с линейными плотностями \(\rho_1\) и \(\rho_2\), натянута продольными силами \(F_{\parallel}\). В точке соединения частей струну начинают тянуть поперечной силой \(F_{\perp}\). Как меняется со временем форма струны?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Форма. Струна остаётся ломаной из трёх участков: два горизонтальных (куда возмущение ещё не дошло) и два наклонных, растущих со скоростями \(c_1\) и \(c_2\). Вершина ломаной поднимается равномерно:
\[ y(t) = u\,t. \]Наклоны участков: слева \(u/c_1\), справа \(u/c_2\) (за время \(t\) излом ушёл на \(c_it\), а вершина поднялась на \(ut\)).
Равновесие вершины. Поперечная составляющая натяжения на наклонном участке равна \(F_{\parallel}\times\)наклон (задача 3.6.17). Обе части струны тянут вершину вниз:
\[ F_{\perp} = F_{\parallel}\,\frac{u}{c_1} + F_{\parallel}\,\frac{u}{c_2} = F_{\parallel}\,u\,\frac{c_1+c_2}{c_1c_2}, \]откуда
\[ \boxed{\;u = \frac{c_1c_2}{c_1+c_2}\cdot\frac{F_{\perp}}{F_{\parallel}}\;}, \qquad c_1 = \sqrt{\frac{F_{\parallel}}{\rho_1}},\quad c_2 = \sqrt{\frac{F_{\parallel}}{\rho_2}}. \]