На натянутую с силой \(F\) струну, линейная плотность которой равна \(\rho\), надеты три гладких колечка. Колечки движутся по струне со скоростью \(v\), деформируя её. С той же скоростью, не меняя своей формы, движется по струне и область изгиба, создаваемая колечками. Какие силы действуют на струну со стороны колечек? Что происходит при приближении \(v\) к \(\sqrt{F/\rho}\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Эффективное натяжение. В сопровождающей системе струна — это неподвижная кривая, по которой с постоянной скоростью \(v\) течёт вещество. Возьмём кусочек длины \(\Delta s\) на изломе. Его масса \(\rho\Delta s\), он движется по кривой и потому имеет ускорение, направленное «внутрь» изгиба. Требуемая сила равна \(\rho v^{2}\times\)(скачок наклона) — ровно такая же по форме, как поперечная сила натяжения \(F\times\)(скачок наклона), только с обратным знаком.
Значит внешняя сила, которую надо приложить в изломе, равна
\[ F_{\text{внеш}} = -\bigl(F-\rho v^{2}\bigr)\times(\text{скачок наклона}). \]Это в точности задача 3.6.18, но с заменой \(F \to F - \rho v^{2}\).
Считаем скачки наклона. В точке 1 наклон меняется с 0 на \(+b/L\); в точке 2 — с \(+b/L\) на \(-b/L\) (скачок \(-2b/L\)); в точке 3 — с \(-b/L\) на 0 (скачок \(+b/L\)). Отсюда
\[ F_1 = F_3 = -\bigl(F-\rho v^{2}\bigr)\frac{b}{L} = \bigl(\rho v^{2}-F\bigr)\frac{b}{L}, \] \[ F_2 = 2\bigl(F-\rho v^{2}\bigr)\frac{b}{L}. \]Крайние колечки прижимают струну вниз, среднее — тянет вверх (при \(v<c\)), и сумма сил равна нулю ✓.
Что при \(v \to \sqrt{F/\rho}\). Тогда \(F - \rho v^{2} \to 0\), и все силы обращаются в нуль: струна «не сопротивляется» изгибу — при такой скорости треугольная форма поддерживается сама собой (ведь это в точности бегущая волна, задача 3.6.20!). Наоборот, если силы колечек заданы и фиксированы, то при \(v\to\sqrt{F/\rho}\) деформация \(b\) растёт неограниченно — та же картина, что резонанс.