По струне распространяются две одинаковые по форме встречные волны, несущие энергию \(E\) каждая. Какова будет кинетическая и потенциальная энергия в момент совпадения оснований волн, изображённых на рисунке?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что складывается. Для волны, бегущей вправо, \(u = -c\,y'\); для бегущей влево — \(u = +c\,y'\) (задача 3.6.19). Значит у двух зеркальных волн одинаковой формы поперечные скорости в точке встречи противоположны, если профили одинаковы, и одинаковы, если один профиль перевёрнут.
Случай а (горбы одного знака). В момент совпадения смещения складываются: струна изогнута вдвое сильнее. Скорости же взаимно уничтожаются — струна в этот момент неподвижна:
\[ K = 0,\qquad U = 2E. \]Проверим согласованность: полная энергия сохраняется и равна \(2E\). В бегущей волне половина энергии кинетическая, половина потенциальная, то есть каждая волна несёт \(E/2\) той и другой. При наложении потенциальная энергия пропорциональна квадрату наклона: наклон удвоился — значит она вчетверо больше, чем у одной волны, то есть \(4\cdot(E/2) = 2E\) ✓, и это ровно вся энергия.
Случай б (горбы разных знаков). Смещения гасят друг друга — струна в этот момент прямая, потенциальной энергии нет. Зато скорости складываются:
\[ K = 2E,\qquad U = 0. \]Та же проверка: скорость удвоилась, кинетическая энергия вчетверо больше, чем у одной волны: \(4\cdot(E/2) = 2E\) ✓.
Мораль. «Волны погасили друг друга» — иллюзия: энергия никуда не делась, она целиком перешла в кинетическую. Через мгновение волны разойдутся как ни в чём не бывало. Это же объясняет, почему в узле стоячей волны струна не покоится, а быстрее всего движется.