Часть стального стержня, длина которого 10 см, сжали на тысячную долю его длины и отпустили. Какие бегущие волны возникнут в стержне? Нарисуйте графики распределения деформации стержня и скорости частиц в нём по его длине спустя \(5\cdot10^{-6}\) с после того, как эту часть стержня отпустили.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Разложение. Пусть начальная деформация \(\varepsilon_0 = -10^{-3}\) на участке длины \(a = 10\) см, скорости нет. Возьмём две волны с деформацией \(\varepsilon_0/2\) каждая, одну бегущую вправо, другую влево. В начальный момент они совпадают: деформации складываются в \(\varepsilon_0\) ✓, а скорости (\(u = \mp c\varepsilon_0/2\)) взаимно уничтожаются ✓. Начальные условия воспроизведены — значит это и есть решение:
\[ \varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{2} = -0{,}5\cdot10^{-3} \quad\text{в каждой волне}. \]Скорость частиц. В стали \(c = \sqrt{E/\rho} \approx 5\cdot10^{3}\) м/с, поэтому
\[ u = c\,|\varepsilon| = 5\cdot10^{3}\cdot0{,}5\cdot10^{-3} = 2{,}5\;\text{м/с}. \]Правая волна тянет вещество вправо, левая — влево: сжатый кусок расширяется.
Через \(5\cdot10^{-6}\) с. Каждая волна сместилась на
\[ c\,t = 5\cdot10^{3}\cdot5\cdot10^{-6} = 2{,}5\cdot10^{-2}\;\text{м} = 2{,}5\;\text{см}. \]Это меньше половины участка, поэтому волны ещё перекрываются. Отсчитывая \(x\) от левого края сжатого участка:
— на краях, \(x\in(-2{,}5;\,2{,}5)\) см и \(x\in(7{,}5;\,12{,}5)\) см,
работает только одна волна: \(\varepsilon = -0{,}5\cdot10^{-3}\), скорость
\(\mp2{,}5\) м/с;
— в середине, \(x\in(2{,}5;\,7{,}5)\) см, обе волны: \(\varepsilon = -10^{-3}\)
(сжатие ещё полное), а скорости гасятся, \(u=0\);
— вне отрезка \((-2{,}5;\,12{,}5)\) см стержень пока ничего не знает о случившемся.