Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.8. Наложение и отражение волн

Савченко, задача 3.8.3

Задача 3.8.3◇ отражение от жёсткой стенки

Условие

При нормальном падении волны на жёсткую стенку возникает возмущение, при котором смещение и скорость среды вблизи стенки нулевые. Если представить себе, что на падающую волну налагается идущая симметрично из-за стенки перевёрнутая волна смещений, то получится возмущение с нулевым смещением и требуемыми вблизи стенки свойствами. Постройте для изображённой на рисунке падающей волны распределение смещения и скорости среды, когда волна «войдёт в стенку» на 1/6, 1/2, 2/3 своей длины.

К задаче 3.8.3 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Метод изображений: продолжим среду за стенку и запустим оттуда навстречу зеркально отражённую и перевёрнутую копию волны. В точке стенки смещения двух волн всегда взаимно уничтожаются — а это ровно то граничное условие, которое нужно. Значит сумма и есть искомое решение.

Почему перевёрнутая. На стенке смещение обязано быть нулевым в любой момент. Если волна-изображение — точная зеркальная копия падающей, но с обратным знаком, то в точке стенки они всегда равны по модулю и противоположны — сумма ноль ✓. Единственность решения гарантирует, что это и есть настоящее движение среды.

Что происходит со скоростями и деформациями. Для волны, бегущей вправо, \(u = -c\,y'\); для её зеркального перевёрнутого двойника, бегущего влево, \(u = +c\,y'\), причём наклон в точке стенки у них одинаков. Значит у стенки скорости взаимно уничтожаются — там узел скорости, как и положено у неподвижной стенки. А вот деформации (наклоны) у стенки, наоборот, складываются: там пучность деформации, а с ней и давления, — оно у стенки вдвое больше, чем в бегущей волне (задача 3.8.4).

Строки — три момента: волна «вошла в стенку» на 1/6, 1/2 и 2/3 своей длины. Слева смещение (сумма падающей и перевёрнутой отражённой волн — у стенки всегда нуль), справа скорость (тоже нуль у стенки; за фронтом отражённой волны она вдвое больше исходной).

Как читать рисунок. Слева показано суммарное смещение, справа — суммарная скорость; жирная вертикаль — стенка. Видно главное:

— у стенки и смещение, и скорость всегда равны нулю ✓;
— сначала перед стенкой смещение складывается с отражённым и вырастает, потом убывает и меняет знак: отражённая волна уходит перевёрнутой;
— скорость кусочно постоянна (профиль состоит из прямых отрезков) и в точке стенки обращается в нуль, зато сразу за фронтом отражённой волны она вдвое больше, чем была в падающей;
— деформация у стенки, наоборот, удваивается — там пучность давления (задача 3.8.4).

Проверка. Отражённая волна по форме такая же, но перевёрнутая ✓ — это стандартное «отражение с потерей полуволны» от жёсткой границы. Энергия сохраняется: стенка неподвижна и работы не совершает ✓. Давление у стенки, наоборот, удваивается — там пучность давления ✓ (задача 3.8.4). Если бы мы взяли неперевёрнутую копию, у стенки получился бы нуль деформации, а не смещения — а это условие свободного конца ✓ (задача 3.8.5).

Ответ Смещение — сумма падающей волны и её зеркальной перевёрнутой копии; у стенки оно всегда равно нулю, там же нуль и скорость, зато деформация (и давление) удваивается. Графики для трёх моментов — на рисунке.

Следующая задача 3.8.4 →