Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.8. Наложение и отражение волн

Савченко, задача 3.8.10

Задача 3.8.10◇ стержень о стенку

Условие

Стальной стержень длины 1 м ударяется торцом о жёсткую неподвижную стенку. Его первоначальная скорость 100 м/с. Какое давление он оказывает на стенку? Какие волны побегут по стержню? Чему равно время контакта? Какова конечная скорость стержня?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Стенка мгновенно останавливает не весь стержень, а только тот его слой, до которого уже добралась волна. Давление задаётся скоростью через \(\sigma = \rho c v\), а контакт длится ровно столько, сколько нужно волне на путь «туда и обратно».

Давление. За фронтом волны сжатия вещество покоится, значит скорость изменилась на \(v\), и

\[ P = \rho\,c\,v = 7{,}8\cdot10^{3}\cdot5\cdot10^{3}\cdot100 = 3{,}9\cdot10^{9}\;\text{Па} \approx 3{,}9\cdot10^{4}\;\text{атм}. \]

Пять стадий удара. Голубым закрашена сжатая часть стержня. Контакт длится ровно столько, сколько волне нужно, чтобы дойти до свободного торца и вернуться: \(\tau = 2l/c\).

Что происходит по стадиям.

1. Торец коснулся стенки. В стержень побежала волна сжатия: за её фронтом вещество остановлено и сжато, впереди — ещё летит со скоростью \(v\).

2. Через время \(l/c\) фронт дошёл до свободного заднего торца. Весь стержень сжат и покоится: вся кинетическая энергия перешла в упругую.

3. От свободного торца волна отражается волной растяжения (задача 3.8.5). За её фронтом деформация исчезает, а скорость меняет знак — вещество летит прочь от стенки со скоростью \(v\).

4. Ещё через \(l/c\) фронт возвращается к стенке. Весь стержень недеформирован и движется от стенки со скоростью \(v\) — давление на стенку обращается в нуль, контакт прекращается.

Время контакта.

\[ \tau = \frac{2l}{c} = \frac{2\cdot1}{5\cdot10^{3}} = 4\cdot10^{-4}\;\text{с}. \]

Конечная скорость. \(v = 100\) м/с, направлена от стенки: удар получился абсолютно упругим, никаких колебаний в стержне не осталось.

Проверка. Импульс: \(P S\tau = \rho c v S\cdot2l/c = 2\rho S l v = 2mv\) ✓ — ровно то, что нужно, чтобы развернуть стержень. Энергия сохранилась полностью ✓, и это не случайность: при ударе о стенку стержень встречает «бесконечно длинного» партнёра, и обе волны успевают полностью отработать. Давление \(3{,}9\cdot10^{4}\) атм намного выше предела текучести стали ✓ — реальный стержень при 100 м/с расплющит торец, так что задача идеализированная. Деформация \(\varepsilon = v/c = 0{,}02\) ✓ — тоже великовата, но порядок верен.

Ответ \( P = \rho c v \approx 3{,}9\cdot10^{4} \) атм; по стержню бежит волна сжатия, отражающаяся от свободного торца волной растяжения; \( \tau = 2l/c = 4\cdot10^{-4} \) с; конечная скорость \(100\) м/с в обратную сторону.

Следующая задача 3.8.11 →