Предел прочности керамики и стёкол на разрыв значительно меньше, чем на сжатие. Из-за удара по левому концу стеклянного стержня побежала волна сжатия — «полуволна» синусоиды с амплитудой напряжения \(\sigma_0\) и протяжённостью \(L\). Какой участок стержня отколется, если предел прочности на разрыв \(\sigma < \sigma_0\)? Рассмотрите случаи \(\sigma_0 \gg \sigma\) и \(\sigma_0 \approx \sigma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Наложение. Пусть свободный торец в точке \(x=0\), импульс идёт к нему. Обозначим \(f(s) = \sigma_0\sin(\pi s/L)\) — сжимающее напряжение на расстоянии \(s\) позади фронта. Через время \(t\) после прихода фронта на торец растягивающее напряжение на глубине \(x\) равно (отражённая минус ещё падающая):
\[ T(x,t) = f(ct-x) - f(ct+x) = -2\sigma_0\cos\frac{\pi ct}{L}\,\sin\frac{\pi x}{L}. \]Растяжение (\(T>0\)) появляется, когда \(\cos(\pi ct/L) < 0\), то есть после \(ct = L/2\).
Где оно наибольшее. Формула верна, пока обе волны существуют в точке \(x\), то есть пока \(ct + x \le L\). Значит при заданном \(t\) выгоднее всего самая дальняя точка \(x = L - ct\), и тогда, обозначив \(\varphi = \pi ct/L\),
\[ T_{\text{макс}}(t) = 2\sigma_0\,|\cos\varphi|\,\sin\varphi = \sigma_0\,|\sin 2\varphi|. \]Момент разрыва. Величина \(|\sin2\varphi|\) растёт от нуля при \(\varphi = \pi/2\), поэтому \(T\) впервые достигает \(\sigma\) при
\[ 2\varphi - \pi = \arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{\pi}{2} + \frac12\arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0}. \]Толщина откола. Трещина проходит на глубине \(l = L - ct = L(1 - \varphi/\pi)\):
\[ \boxed{\;l = \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0}\right) = \frac12\left(L - \frac{c}{\omega}\arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0}\right)\;} \](здесь \(\omega = \pi c/L\) — частота той синусоиды, полуволной которой является импульс).
Предельные случаи.
— \(\sigma_0 \gg \sigma\) (очень хрупкое стекло): \(\arcsin \to 0\) и
\(l \to L/2\) — откалывается ровно половина длины импульса, как в задаче 3.8.8 ✓.
— \(\sigma_0 \approx \sigma\) (прочность почти равна амплитуде):
\(\arcsin1 = \pi/2\) и \(l = L/4\) — тонкая чешуйка, и то еле-еле.