Два упругих стержня из одинакового материала и одинакового сечения, но разной длины \(l\) и \(L > l\) движутся навстречу друг другу со скоростью \(v\). Определите скорость центров масс этих стержней после их столкновения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Первая стадия. При соприкосновении место контакта останавливается (по симметрии двух одинаковых материалов и равных скоростей), и в оба стержня бегут волны сжатия с напряжением \(\sigma = \rho c v\). За фронтом вещество покоится.
Короткий стержень. Через \(l/c\) волна дошла до его свободного торца, там отразилась растяжением и через \(2l/c\) вернулась к контакту. К этому моменту весь короткий стержень недеформирован и летит прочь со скоростью \(v\) — то есть он просто отскочил:
\[ v_l = v \quad\text{(в обратную сторону)}. \]В этот момент контакт и прекращается.
Длинный стержень. Он «работал» лишь время \(2l/c\), за которое волна сжатия прошла по нему длину \(2l\) (по условию \(L>l\); если \(2l>L\), волна успела отразиться, но на подсчёте импульса это не скажется). К моменту разрыва контакта участок длины \(2l\) покоится, а остальная часть длины \(L-2l\) всё ещё летит со скоростью \(v\) в прежнюю сторону. Скорость центра масс:
\[ v_L = \frac{2l\cdot0 + (L-2l)\,(-v)}{L} = -v\left(1-\frac{2l}{L}\right), \qquad |v_L| = v\left|1-\frac{2l}{L}\right|. \]Куда он летит. При \(L > 2l\) длинный стержень продолжает двигаться в прежнюю сторону (просто медленнее); при \(L < 2l\) — отскакивает назад; при \(L = 2l\) его центр масс останавливается.