Происходит торцевое столкновение двух упругих стержней одинакового сечения. Рассмотрев волны сжатия, порождённые ударом, и отражение их от свободных концов, докажите, что результат соударения такой же, как и при лобовом абсолютно упругом ударе тел, если отношение длин стержней равно отношению скоростей звука в этих стержнях.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Условие синхронности. Волна пробегает стержень туда и обратно за время \(2l_i/c_i\). Если
\[ \frac{l_1}{c_1} = \frac{l_2}{c_2}, \]то оба «возврата» происходят одновременно, в момент \(t = 2l_1/c_1\).
Что при этом получается. Проследим за одним стержнем. При контакте в него уходит волна сжатия; за её фронтом скорость стержня меняется на некоторую величину \(\Delta\). Дойдя до свободного торца, волна отражается растяжением, и за её фронтом скорость меняется ещё на \(\Delta\), а деформация исчезает. Когда отражённая волна возвращается к контакту, весь стержень недеформирован и имеет одну и ту же скорость \(v_i + 2\Delta_i\). То же самое одновременно происходит со вторым стержнем — и в этот же момент контакт разрывается.
Итого после удара оба стержня не деформированы и движутся поступательно: никаких внутренних колебаний не осталось. А значит вся механическая энергия — это энергия поступательного движения, то есть кинетическая энергия сохранилась.
Вывод. Выполнены оба закона: сохранение импульса (всегда) и сохранение кинетической энергии (только что показано). А эти два закона однозначно определяют результат лобового столкновения двух тел — значит он такой же, как при абсолютно упругом ударе шаров с массами \(m_i = \rho_i S l_i\).